1、课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：选D如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos
2、 120700，AC10(km)3(2016唐山一模)在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC()A. B.C. D.解析：选B由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC.4江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：1
3、05.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3(km)答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里
4、B10 海里C20 海里 D20 海里解析：选A如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)2如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.3(2014四川高考)如图，
5、从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选Ctan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)，故选C.4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在A
6、BC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.5(2016厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析：选D由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cos A0，0A，0A.因此得角A的取值范围是.6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北
7、偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分钟)答案：7.如图，为测得河岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得，所以BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(米)答案：108(2016洛阳统考)如图，在ABC中，sin，
8、AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，则cosC_.解析：由条件得cosABC，sinABC.在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理得9b2a24a.因为ADB与CDB互补，所以cosADBcosCDB，所以，所以3b2a26，联合解得a3，b1，所以AC3，BC3.在ABC中，cosC.答案：9某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间
9、.解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理，得，所以sinCAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮10.如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立
10、柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛到地面的距离为米(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由解：(1)作SC垂直OB于C，则CSB，ASB.又SA，故在RtSAB中，可求得BA3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米由SC3，CSO，在RtSCO中，可求得OC.因为BCSA，故OB2，即立柱高为2米(2)连接SM，SN，设SNa，SMb.由(1)知SO2，在SOM和SON中，cosSOMcosSON，即，
11、可得a2b226.在MSN中，cosMSN，当且仅当ab时等号成立，又MSN(0，)，则0MSN.故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，BCsin 1510 500()CDAD，CDBCsinDBC10 500()10 5
12、00(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100米和BN200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，PM100，连接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100米
