1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。12.3 充分条件、必要条件第 1 课时 充分条件、必要条件1.形如“如果 p,那么 q”的命题命 题 真假“如果 p,那么 q”是真命题“如果 p,那么 q”是假命题推 出 关系由 p 可以推出 q由 p 推不出 q记法pqp q读法p 推出 qp 推不出 q2.充分条件与必要条件推 出 关系pqp q条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件 在逻辑推理中 pq,能表达成哪几种说法?提示:以下 5 种说
2、法:“若 p,则 q”为真命题;p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件;q 的充分条件是 p;p 的必要条件是 q.3.用集合知识理解充分条件和必要条件条件 A=x|p(x),B=x|q(x)且 AB图示结论p(x)q(x)p(x)是 q(x)的充分条件 q(x)是 p(x)的必要条件4.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)“x=5”是“x2=25”的必要条件.()(2)“x0”是“x1”的充分条件.()(3)如果 p 是 q 的
3、充分条件,则 p 是唯一的.()提示:(1).“x2=25”“x=5”.(2).“x0”“x1”.(3).不唯一,如 x3,x5,x10 等都是 x0 的充分条件.2.下列哪一项是“a1”的必要条件()A.a2C.a0【解析】选 D.由题意,“选项”是“a1”的必要条件,表示“a1”推出“选项”.3.(教材例题改编)“m1”是“m2”的 条件.【解析】由于包含,故“m1”是“m2”的必要条件.答案:必要 类型一 充分条件(逻辑推理)【典例】1.已知集合 A=x|-1x2,B=x|-1xm+1,若 xA 是 xB成立的一个充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 .2.判断下列各题中,p 是否是
4、 q 的充分条件:(1)p:aQ,q:aR.(2)p:ab,q:1,q:x21.(4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.(5)在ABC 中,p:AB,q:BCAC.(6)已知 a,bR,p:a2+b2=0,q:a=b=0.【思路导引】1.将问题转化为集合之间的包含关系求解即可.2.逐个判断“若 p,则 q”是否为真.【解析】1.由 xA 是 xB 成立的一个充分不必要条件,得 A B,即,即 m1.答案:(1,+)2.(1)由于 Q R,所以 pq,所以 p 是 q 的充分条件.(2)由于 ab,当 b1;当 b0 时,1 可以推出 x21.因此 pq,所以 p 是 q 的充分条件.(
5、4)设 A=a|(a-2)(a-3)=0,B=3,则 B A.因此 p q,所以 p 不是 q 的充分条件.(5)由三角形中大角对大边可知,若AB,则 BCAC.因此,pq,所以 p 是 q 的充分条件.(6)因为 a,bR,所以 a20,b20,由 a2+b2=0,可推出 a=b=0,即 pq,所以 p 是 q 的充分条件.将本例 2(2)的条件改为“p:0ab1,q:b”,如何判断?【解析】当 0ab1,a0,b;当 0ab0,b0 时,有 b0,q:a0,b0.(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.(3)p:x 为无理数,q:x2 为无理数.(4)p:x=1,q:x2-4x+3=
6、0.【解析】(1)ab0a0,b0 或 a0,b0,b0,因此 p q,所以 p 不是 q 的充分条件.(2)因为两个三角形相似不一定全等,因此 p q,所以 p 不是 q 的充分条件.(3)若 x 为无理数,则 x2不一定为无理数;例如为无理数,则()2=2不为无理数;因此 p q,所以 p 不是 q 的充分条件.(4)因为 x=1x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,所以 pq,所以 p 是 q 的充分条件.类型二 必要条件(逻辑推理)【典例】1.已知 p:x1,q:xa,若 p 是 q 的必要条件,则 a 的取值范围为 .2.判断下列各题中,q 是否是 p 的必要条件:(1)p:|x
7、|=|y|,q:x=y.(2)p:ABC 是直角三角形,q:ABC 是等腰三角形.(3)p:x=1,q:x-1=.(4)p:-2x5,q:-1x5.(5)p:a 是自然数,q:a 是正整数.(6)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.【思路导引】1.由题意得出或,利用数轴求 a.2.逐个判断“若 p,则 q”是否为真.【解析】1.由于 p 是 q 的必要条件,则或,即.所以 a1,因此,实数 a 的取值范围是.答案:2.(1)若|x|=|y|,则 x=y 或 x=-y,因此 p q,所以 q 不是 p 的必要条件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形.因此 p q,所以 q 不是 p
8、的必要条件.(3)当 x=1 时,x-1=0,所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件.(4)设 A=-2,5,B=-1,5,则 B A,所以 p q,所以 q 不是 p 的必要条件.(5)0 是自然数,但是 0 不是正整数,所以 p q,所以 q 不是 p 的必要条件.(6)等边三角形一定是等腰三角形,所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件.必要条件的判断方法 判断下列各题中,q 是否是 p 的必要条件:(1)p:a 是 1 的平方根,q:a=1.(2)p:4x2-mx+9 是完全平方式,q:m=12.(3)p:a 是无理数,q:a 是无限小数.(4)p:a 与 b 互为相反数,q:a 与
9、 b 的绝对值相等.【解析】(1)1 的平方根是1,所以 p q,所以 q 不是 p 的必要条件.(2)因为 4x2-mx+9=(2x3)2,所以 m=12,所以 p q,所以 q 不是 p 的必要条件.(3)因为无理数是无限不循环小数,所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件.(4)若 a 与 b 互为相反数,则 a 与 b 的绝对值相等,所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件.【补偿训练】判断下列各题中,q 是否是 p 的必要条件:(1)p:m-n=0,m,nR,q:=1,m,nR.(2)p:三角形两边上的高相等,q:三角形为等腰三角形.(3)p:(x-a)(x-b)=0,q:x=a.(
10、4)p:a 和 b 都是偶数,q:ab 是偶数.【解析】(1)由=1 得 n=m,即 m-n=0,反之,当 m=n=0 时,满足 m-n=0,但=1 不成立,即 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q 不是 p 的必要条件.(2)由三角形的面积公式可知,若一个三角形两边上的高相等,则这两条边相等,这个三角形是等腰三角形,所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件.(3)若(x-a)(x-b)=0,则 x=a 或 x=b.所以 p q,所以 q 不是 p 的必要条件.(4)两个偶数的乘积仍是偶数.所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件.1.p:(a+b)(a-b)=0,q:a=b,则 p 是 q
11、 的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选 B.由 p:(a+b)(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出 a=b,由 a=b,能推出|a|=|b|,故 p 是 q 的必要条件.2.设集合 M=(0,3,N=(0,2,那么“aM”是“aN”的 条件.【解析】由于 N M,所以“aN”“aM”,所以“aM”是“aN”的必要条件.答案:必要 3.(2021上海高一检测)“0 x5”是“-2x6”成立的 条件.【解析】因为“0 x5”能推出“-2x6”成立,故充分性成立;而“-2x6”不能推出“0 x5”一定成立,故必要性不成立.答案:充分不必要 4.(2021成都高一检测)已知命题 p:4a5,q:m+1a2m,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为 .【解析】记集合 A=a|4a2m,即 m1 时,B=A;当 m1 时,BA 等价于,解得 m.综上所述,实数 m 的取值范围为(-,1).答案:(-,1)关闭 Word 文档返回原板块
