1、课时达标检测(四十七） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x02，则直线QA1的方程为y(x2)，与
2、直线x的交点E的坐标为，直线QA2的方程为y(x2)，与直线x的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m，则HEHF，从而kHEkHF1，即1，即2，由1得y.所以由得m1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2(2018江苏省淮安市高三期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：y21的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q.(1)若APPQ，求直线l的斜率；(2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值解：(1)依题意，椭圆C的左顶点A(2,0)，设直线l的斜率为k(k0)，点P的横坐标为xP，则直线l的方程为
3、yk(x2)又椭圆C：y21，由得，(4k21)x216k2x16k240，则2xP，从而xP.因为APPQ，所以xP1.所以1，解得k(负值已舍)(2)证明：设点N的横坐标为xN.结合(1)知，直线MN的方程为ykx.由得，x.从而，即证3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且1，|1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，则c1，又(ac)(ac)a2c21.a22，b21，故椭圆的方程为y21.(
4、2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0,1)，F(1,0)，直线l的斜率k1.于是设直线l为yxm，由得3x24mx2m220，x1x2m，x1x2.x1(x21)y2(y11)0.又yixim(i1,2)，x1(x21)(x2m)(x1m1)0，即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0.即2(m1)m2m0，解得m或m1，当m1时，M，P，Q三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，直线l的方程为yx.二、重点选做题1(2018淮阴中学模拟)如图，椭圆C：1(ab0)的顶点A1，A2，B1，B2，S
5、A1B2A2B14，直线yx与圆O：x2y2b2相切(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？若有求出其定点，若没有，说明理由解：(1)因为直线yx与圆O相切，所以b，即b1，又因为SA1B2A2B14，所以2a2b4，所以a2，所以椭圆C的方程：y21，所以离心率e.(2)由(1)可知A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为ykx1，由得(14k2)x28kx0，其中xB20，所以xP，所以P，则直线A1P的斜率kA1P，直线A
6、1P的方程为y(x2)，令x0，则y，即F，因为直线A1B1的方程为x2y20，由解得所以E，所以EF的斜率k0，所以直线EF的方程为yx，所以2k(xy1)(y1)0，所以可求定点为(2,1)，即直线EF是过定点(2,1)2已知椭圆M：1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆M的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)0
7、，即m230，所以m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2| .又由题意得，T(1,1)到直线yxm的距离d.假设TAB的面积存在最大值，则m0，STAB|AB|d.由基本不等式得，STAB，当且仅当m时取等号，而m(，0)(0，)，所以TAB面积的最大值为.故TAB的面积存在最大值，且当m时，TAB的面积取得最大值.三、冲刺满分题1(2018苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值解
8、：(1)由题意可知：椭圆1(ab0)，焦点在x轴上，2c2，c1，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，则椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意PQ的方程：yk(x)，则整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根与系数的关系可知：x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2k2，则kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1.2如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和
9、y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，解得xD，即D.因为GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.
