1、四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足：，则的虚部是（）A. 2B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化为的形式，则答案可求【详解】解：由，得，则复
2、数z的虚部是2，故选B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2.已知函数f（x）在x0处的导数为1，则等于 （）A. 2B. 2C. 1D. 1【答案】A【解析】分析：与极限的定义式比较，凑配出极限式的形式：详解：，故选A点睛：在极限式中分子分母中的增量是相同的，都是，因此有3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的两焦点坐标分别为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得,以此求出焦点坐标.【详解】解析：双曲线的渐近线方程为或，所以即，故，所以的两焦点坐标分别，故选C.【点睛】本题考查双曲线的焦点的求法，注意运用渐近线方程，考
3、查运算能力，属于基础题4.设向量，则“”是“”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充要条件的判断方法进行判断即可.【详解】若，则，则；但当时， 故“”是“”的充分但不必要条件.选A.【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.5.设XN(1,2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X3)0.0228,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%)A. 6038B. 6587C. 7028
4、D. 7539【答案】B【解析】分析：求出，即可得出结论.详解：由题意得，P(X1)P(X3)0.0228，P(1X3)10.022 820.954 4，121，1，P(0X1)P(0X2)0.341 3，故估计的个数为10000(10.3413)6587，故选B.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性.6.在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】分析：据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两
5、种情况下的抽法数，进而相加可得答案详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选D点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论7.抛物线在处的切线与y轴及抛物线所围成的图形面积为（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先求切线方程，再用定积分求图形面积，求出被积函数的原函数即可【详解】解：函数的导数为，则在处的切线斜率，则对应的切线方程为，即
6、，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积，故选：【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，以及利用积分求区域面积是解决本题的关键8.已知直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线与坐标轴的交点，推出椭圆的，即可得到椭圆的方程.【详解】由题意，直线经过椭圆的上顶点与右焦点，可得，可得，所以椭圆的标准方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的额标准方程的形式和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.若曲线上任意一点处切线的倾斜角都是锐
7、角，那么整数等于（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于的不等式得答案.【详解】解:由,得,曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,对任意实数恒成立,.解得:.整数的值为1.故答案为B【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考查了数学转化思想方法,是中档题.10.设函数在上可导，其导函数为，如图是函数的图象，则的极值点是( )A. 极大值点，极小值点B. 极小值点，极大值点C. 极值点只有D. 极值点只有【答案】
8、C【解析】结合图象，时，故时，故时，故，故在递增，在递减，故的极值点是，故选C.11.已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出图形，由，得出，利用、三点共线可得出的最大值.【详解】如下图所示：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，由圆的几何性质可得，当且仅当、三点共线时，取到最大值.故选：D.【点睛】本题考查折线段长度差的最大值的计算，考查了圆的几何性质的应用以及利用三点共线求最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知，且对恒成立，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出函数的导
9、数，再分别讨论a=0，a0，a0的情况，从而得出ab的最大值详解：令f（x）=ex-a（x-1）-b，则f（x）=ex-a，若a=0，则f（x）=ex-b-b0，得b0，此时ab=0；若a0，则f（x）0，函数单调增，x-，此时f（x）-，不可能恒有f（x）0若a0，由f（x）=ex-a=0，得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna+a-b0，得ba（2-lna），aba2（2-lna）令g（a）=a2（2-lna）则g（a）=2a（2-lna）-a=a（3-2lna）=0，得极大值点a=而g（）=ab的最大值是故选C点睛：本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最
10、值中的应用，渗透了分类讨论思想，是中档题第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】先求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】因为，所以，异面直线与所成角的余弦值为.，故答案为.【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算、异面直线所成的角以及空间向量夹角余弦公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.14._【答案】4【解析】 ，故答案为.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_【答案】(1,3)【解析】由题意得单调递增函数,且为奇函数,所以点睛：解函数不等式
11、：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内16.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 【答案】.【解析】试题分析：抛物线焦点，由题意，且并被轴平分，所以点在双曲线上，得，即，即，所以，故. 故应填.考点：抛物线；双曲线.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高
12、校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为.（1）求的值；（2）若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）,（2）见解析【解析】分析：(1)先根据小长方形的面积等于对应区间概率得b，再根据所有小长方形面积和为1求区间0.9,1.1概率，除以组距即得a,(2)先根据分层抽样得确定视力在的人数为3，再确定随机变
13、量的取法，分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：（1）；（2）的可能取值为0，1，2，3，概率为：，所以其分布列如下：0123则.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”， 第四步是“求期望值”. 18.已知函数.（）当时，求曲线在处的切线方程；（）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求，再解0，求出实数a的取值范围.详解：（）当时，即曲线在处的切线的斜率为，又，所以所求切线
14、方程为.（）当时，若不等式恒成立，易知，若，则恒成立，在上单调递增；又，所以当时，符合题意.若，由，解得，则当时，单调递减；当时，单调递增.所以时，函数取得最小值.则当，即时，则当时，符合题意.当，即时，则当时，单调递增，不符合题意.综上，实数的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式时，右边要化成，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是是否在函数的定义域内,大家要理解掌握.19.如图，四棱锥的底面为矩形，是
15、四棱锥的高，与平面PAD所成角为45，是的中点，E是BC上的动点（1）证明：PEAF；（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空间坐标系得到两直线的方向向量，进而证得垂直关系；（2）建立坐标系通过题干的线线角得到，求两个面的法向量，进而得到二面角.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系设，则，于是，则，所以 （2）设则,若，则由得， 设平面的法向量为， 由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角所以，【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角求线面角，一是可以利用等体
16、积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.【答案】见解析.【解析】试题分析：（1）由已知，有，可得. 设点的纵坐标为.可得的最大值 求出，.即可得到椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率不为，故
17、设直线：.设，.联立，得.由弦长公式可得 ，由此得到的表达式，由基本不等式可得到的最小值.试题解析：（1）由已知，有，即.，.设点的纵坐标为.则 ，即.，.椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：.设，.联立，消去，得.此时.，.由弦长公式，得 .整理，得.又， . ，当且仅当，即时等号成立.当，即直线的斜率为时，取得最小值.21.设函数（）讨论的单调性；（）若，证明：当时，.【答案】（）答案见解析；（）证明见解析.【解析】分析：（）先确定函数定义域，再求导，讨论导数的正负可得单调区间；（2）令，求导根据单调性可得，从而得证详解：（）、的定义域为由得得.当时，恒成立，在上单调递增
18、.当时，的根为当，即时，递减，递增当，即时，递增，递减.综上所述：当时，递减，递增；当时，递增，递减；当时在上单调递增.（）所以令所以只需要在上的最大值小于0.，令.令.递减，不等式成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.【答案】(1) (2) 或【解析】试题分析：求得曲线的普通方程，然后通过变换得到曲线方程，
19、在转化为极坐标方程在极坐标方程的基础上结合求出结果解析：（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，的方程为.令，所以的极坐标方程为 .（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由得，由得.而，.而，或.选修4-5：不等式选讲23.已知函数的图象的对称轴为.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】【详解】试题分析：(1)由函数的对称性可得，零点分段求解不等式可得不等式的解集(2)由绝对值不等式的性质可得，则，结合均值不等式的结论： ，当且仅当，时取等号.题中的不等式得证.试题解析：（1）函数对称轴为，,经检验成立 ，由，得或或.解得或，故不等式的解集为.（2）由绝对值不等式的性质，可知，当且仅当等号成立， （当且仅当，时取等号）.即.
