1、2020 年中考数学总复习圆压轴题专题练习1如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上的一点，C90，以 OA 为半径的O 与 BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD 且 AD 平分BAC（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若BAC60，OA2，求阴影部分的面积（结果保留）（1）证明：连接 OD，AD 平分BAC，BADDAC，AODO，BADADO，CADADO，ACOD，ACD90，ODBC，BC 与 O 相切；（2）解：连接 OE，ED，BAC60，OEOA，OAE 为等边三角形，AOE60，ADE30，又OADBAC30，ADEOAD，EDAO，四边形 OAED 是菱形
2、，OEAD，且 AMDM，EMOM，SAEDSAOD，阴影部分的面积S 扇形 ODE2如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点 E 在O 外，连接 CE，ACB 的平分线交O 于点 D（1）若BCEBAC，求证：CE 是O 的切线；（2）若 AD4，BC3，求弦 AC 的长（1）证明：连接 OC，AB 是O 的直径，ACB90，ACO+BCO90，OAOC，OACOCA，BACBCE，ACOBCE，BCE+BCO90，OCE90，CE 是O 的切线；（2）解：连接 BD，ACB 的平分线交O 于点 D，ACDBCD，ADBD，AB 是O 的直径，ADB 90，ADB 是等腰直角三角
3、形，ABAD4，BC3，AC3如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF，交O 于点 E，过点 E 作直线 EDAF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C（1）求证：CD 是O 的切线；（2）C45，O 的半径为 2，求阴影部分面积（1）证明：连接 OEOAOE，OAEOEA，又DAEOAE，OEADAE，OEAD，ADCOEC，ADCD，ADC90，故OEC90OECD，CD 是O 的切线；（2）解：C45，OCE 是等腰直角三角形，CEOE2，COE45，阴影部分面积SOCES 扇形 OBE2224如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，ADBC 垂足为 D，弧 AE
4、弧 AB，BE 分别交 AD、AC 于点 F、G（1）判断FAG 的形状，并说明理由；（2）如图若点 E 与点 A 在直径 BC 的两侧，BE、AC 的延长线交于点 G，AD 的延长线交 BE 于点 F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）在（2）的条件下，若 BG26，DF5，求O 的直径 BC解：（1）FAG 等腰三角形；理由：BC 为直径，BAC90，ABE+AGB90，ADBC，ADC90，ACD+DAC90，弧 AE弧 AB，ABEACD，DACAGB，FAFG，FAG 是等腰三角形；（2）成立；BC 为直径，BAC90ABE+AGB90ADBC，ADC90，ACD+
5、DAC90，弧 AE弧 AB，ABEACD，DACAGB，FAFG，FAG 是等腰三角形；（3）由（2）知DACAGB，且BAD+DAC90，ABG+AGB90，BADABG，AFBF，又AFFG，F 为 BG 的中点BAG 为直角三角形，AFBFBG13，DF5，ADAFDF1358，在 RtBDF 中，BD12，在 RtBDA 中，AB4，ABCDBA，BACADB90ABCDBA，BC，O 的直径 BC5如图，已知矩形 ABCD 的边 AB6，BC4，点 P、Q 分别是 AB、BC 边上的动点（1）连接 AQ、PQ，以 PQ 为直径的O 交 AQ 于点 E若点 E 恰好是 AQ 的中点，
6、则QPB 与AQP 的数量关系是QPB2AQP；若 BEBQ3，求 BP 的长；（2）已知 AP3，BQ1，O 是以 PQ 为弦的圆若圆心 O 恰好在 CB 边的延长线上，求O 的半径；若O 与矩形 ABCD 的一边相切，求O 的半径解：（1）点 E 恰好是 AQ 的中点，ABQ90，BEAEEQ，EABEBA，QEB2EBP，以 PQ 为直径的O 交 AQ 于点 E，QPBQEB，PBEPQA，QPB2AQP，故答案为：QPB2AQP；BEBQ，BEQBQE，且BPQBEQ，BPQBQE，tanBPQtanBPQ，BP（2）如图 1，过点 O 作 OEPQ，AP3，AB6，BP3，PQ，OE
7、PQ，QEPE，cosPQB，OQ5，O 的半径为 5；如图 2，若O 与 BC 相切于点 Q，连接 OQ，过点 O 作 OEPQ 于 E，EQPE，BC 是O 切线，OQBC，且 ABBC，OQAB，OQPBPQ，cosOQPcosBPQ，OQ；如图 3，若O 与 AB 相切于点 P，连接 OP，过点 O 作 OEPQ 于 E，EQPE，AB 是O 切线，OPAB，且 ABBC，OPBC，OPQPQB，cosOPQcosPQB，OP5；如图 4，若O 与 AD 相切于点 M，连接 OM，OQ，OP，延长 MO 交 BC于 F，作 OHAB 于 H 点，OMAD，且 BCAD，OFBC，ABA
8、MOOFBOHB90，四边形 AHOM，OHBF 是矩形，OMAH，OHBF，OQ2OF2+FQ2，OP2OH2+PH2，OQ2（6OQ）2+（BF1）2，OQ2BF2+（OQ3）2，OQ5若图 5，若O 与 CD 相切于点 N，连接 ON，OQ，OP，延长 NO 交 BC于 E，作 OHBC 于 H 点，同理可得：OP2PE2+OE2，OQ2OH2+QH2，OQ2（3OH）2+（4OQ）2，OQ2OH2+（4OQ1）2，OQ3566如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，将矩形沿 AE 翻折，使点 B 落在 CD 边 F 处，连接 AF，在 AF 上取一点 O，以点 O
9、 为圆心，OF 为半径作O 与 AD 相切于点 PAB6，BC，（1）求证：F 是 DC 的中点（2）求证：AE4CE（3）求图中阴影部分的面积（1）证明：由折叠的性质可知，AFAB6，在 RtADF 中，DF3，CFDCDF3，DFFC，即 F 是 CD 的中点；（2）证明：在 RtADF 中，DF3，AF6，DAF30，BAF60，由折叠的性质可知，EAFEAB，AFEB90，EAFEAB30，AE2EF，EFC180AFDAFE30，EF2CE，AE4CE；（3）解：连接 OP、OH、PH，O 与 AD 相切于点 P，OPAD，OPDF，DAF30，AOP90DAF60，OFOPOA，O
10、FHAOP60，OPOF2，AP2，DPADAP，OFH60，OHOF，OHF 为等边三角形，FOHOHF60，HFOF2，DHDFHF1，OPDF，POHOHF60，POHHOF，阴影部分的面积PDH 的面积DHDP7如图，RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O 交 AC 于点 D，连接 BD（1）求证：ACBD（2）若 AB10，AD6，M 为线段 BC 上一点，请写出一个 BM 的值，使得直线 DM 与O 相切，并说明理由（1）证明：AB 为O 直径，ADB90，A+ABD90ABC90，CBD+ABD90，ACBD；（2）BM理由如下：如图，连接 OD，DM，ADB90，AB
11、10，AD6，BD8，OA5，ACBD，RtCBDRtBAD，即，解得 BC取 BC 的中点 M，连接 DM、OD，如图，DM 为 RtBCD 斜边 BC 的中线，DMBM，24，OBOD，13，1+23+490，即ODM90，ODDM，DM 为O 的切线，此时 BMBC8如图，AB 是O 的直径，直线 MC 与O 相切于点 C过点 A 作 MC 的垂线，垂足为 D，线段 AD 与O 相交于点 E（1）求证：AC 是DAB 的平分线；（2）若 AB10，AC4，求 AE 的长（1）证明：连接 OC，直线 MC 与O 相切于点 C，OCM90，ADCD，ADM90，OCMADM，OCAD，DAC
12、ACO，OAOC，ACOCAO，DACCAB，即 AC 是DAB 的平分线；（2）解：连接 BC，连接 BE 交 OC 于点 F，AB 是O 的直径，ACBAEB90，AB10，AC4，BC2，OCAD，BFOAEB90，CFB90，F 为线段 BE 中点，CBEEACCAB，CFBACB，CFBBCA，即，解得，CF2，OFOCCF3O 为直径 AB 中点，F 为线段 BE 中点，AE2OF69如图，AB 是O 的直径，点 C 是圆上一点，点 D 是半圆的中点，连接 CD交 OB 于点 E，点 F 是 AB 延长线上一点，CFEF（1）求证：FC 是O 的切线；（2）若 CF5，tanA，求
13、O 半径的长（1）证明：如图，连接 OD点 D 是半圆的中点，AODBOD90，ODC+OED90，ODOC，ODCOCD又CFEF，FCEFECFECOED，FCEOEDFCE+OCDOED+ODC90，即 FCOC，FC 是O 的切线；（2）解：tanA，在 RtABC 中，ACBOCF90，ACOBCFA，ACFCBF，AF10，CF2BFAFBFAO10如图，AB 是O 的直径，弦 DE 垂直半径 OA，C 为垂足，DE6，连接DB，B30，过点 E 作 EMBD，交 BA 的延长线于点 M（1）求的半径；（2）求证：EM 是O 的切线；（3）若弦 DF 与直径 AB 相交于点 P，当
14、APD45时，求图中阴影部分的面积解：（1）连结 OE，DE 垂直 OA，B30，CEDE3，AOE2B60，CEO30，OCOE，由勾股定理得 OE2；（2）EMBD，MB30，M+AOE90，OEM90，即 OEME，EM 是O 的切线；（3）再连结 OF，当APD45时，EDF45，EOF90，S 阴影（2）2（2）23611如图，RtABC 中，C90BE 平分ABC 交 AC 于点 D，交ABC的外接圆于点 E，过点 E 作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF 是ABC 外接圆的切线；（2）若 BC5，sinABC，求 EF 的长（1）证
15、明：补全图形如图所示，ABC 是直角三角形，ABC 的外接圆圆心 O 是斜边 AB 的中点连接 OE，OEOB23，BE 平分ABC，12，13OEBFEFBF，EFOE，EF 是ABC 外接圆的切线；（2）解：在 RtABC 中，BC5，sinABC，AC2+BC2AB2，AC12ACFCFEFEH90，四边形 C FEH 是矩形EFHC，EHC90EFHCAC612我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”如：如图，已知O 的两条弦 ABCD，则 AB、CD 互为“十字弦”，AB 是 CD 的“十字弦”，CD 也是 AB的“十字弦
16、”（1）若O 的半径为 5，一条弦 AB8，则弦 AB 的“十字弦”CD 的最大值为10，最小值为6（2）如图 1，若O 的弦 CD 恰好是O 的直径，弦 AB 与 CD 相交于 H，连接 AC，若 AC12，DH7，CH9，求证：AB、CD 互为“十字弦”；（3）如图 2，若O 的半径为 5，一条弦 AB8，弦 CD 是 AB 的“十字弦”，连接 AD，若ADC60，求弦 CD 的长解：（1）如图 a，当 CD 是直径时，CD 的长最大，则 CD 的最大值为 10；如图 b，当点 D 与点 A 重合时，CD 有最小值，过点 O 作 OECD 于 E，OFAB 于 F，AFBF4，DECE，O
17、F3，OECD，OFAB，CDB90，四边形 CEOF 是矩形，CEOF3，CD6，CD 最小值为 6，故答案为：10，6；（2）如图 1，连接 AD，DH7，CH9，CD16，CD 是直径，CAD90，AD4，ADHADC，ADHCDA，AHDCAD90，ABCD，AB、CD 互为“十 字弦”；（3）如图 2，过点 O 作 OECD 于 E，过点 O 作 OFAB 于点 F，连接 AO，CO，过点 O 作 ONAC 于 N，ADC60，ABCD，AFDF，OECD，OFAB，ABCD，四边形 OEHF 是矩形，AFBF4，CEED，OFEH，OF3，EH3，EDCE3+DH，CF3+2DH，
18、AOC2ADC120，且 AOCO5，ONAC，CAO30，ANCN，NO，AN，AC5，AH2+CH2AC2，753DH2+（3+2DH）2，DH2，CD2CE2（3+2）13如图，AB 是O 的弦，AB4，点 P 在上运动（点 P 不与点 A、B 重合），且APB30，设图中阴影部分的面积为 y（1）O 的半径为4；（2）若点 P 到直线 AB 的距离为 x，求 y 关于 x 的函数表达式，并直接写出自变量 x 的取值范围解：（1）AOB2APB23060，而 OAOB，OAB 为等边三角形，OAAB4，即O 的半径为 4；故答案为 4；（2）过点 O 作 OHAB，垂足为 H，如图，则O
19、HAOHB90APB30AOB2APB60，OAOB，OHAB，AHBHAB2，在 RtAHO 中，AHO90，AO4，AH2，OH2，y42+4x2x+4（0 x2+4）14如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为O 的直径，D 为的中点，过点 D 作 DEAC，交 BC 的延长线于点 E（1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 CE，AB6，求O 的半径（1）解：结论：DE 与O 相切证：连接 OD在O 中，D 为的中点，ADDC，ADDC，点 O 是 AC 的中点，ODAC，DOADOC90，DEAC，DOAODE90，ODE90，ODDE，ODDE，DE 经过半径 O
20、D 的外端点 D，DE 与O 相切（2）解：连接 BD四边形 ABCD 是O 的内接四边形，DAB+DCB180，又DCE+DCB180，DABDCE，AC 为O 的直径，点 D、B 在O 上，ADCABC90，ABDCBD45，ADDC，ADC90，DACDCA45，DEAC，DCACDE45，在ABD 和CDE 中，DABDCE，ABDCDE45，ABDCDE，ADDC4，在 RtADC 中，ADC90，ADDC4，AC8，O 的半径为 415（1）如图，点 A，B，C 在O 上，点 D 在O 外，比较A 与BDC的大小，并说明理由；（2）如图，点 A，B，C 在O 上，点 D 在O 内，
21、比较A 与BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图，已知点 M（1，0），N（4，0），点 P 在 y 轴上，试求当MPN 度数最大时点 P 的坐标解：（1）ABDC，理由如下：设 CD 交O 于 E，连接 BE，如图 1 所示：BECBDC+DBE，BECBDC，ABEC，ABDC；（2）ABDC，理由如下：延长 CD 交O 于点 F，连接 BF，如图 2 所示：BDCBFC+FBD，BDCBFC，又ABFC，ABDC；（3）由（1）、（2）可得：当点 P 是经过 M、N 两点的圆和 y 轴相切的切点时，MPN 度数最大，当点 P 在 y 轴的正半轴上时，如图 3 所示：设O为点 P 是经过 M、N 两点的圆和 y 轴相切的切点的圆，连接 OP、OM、ON，作 OHMN 于 H，则四边形 OPOH 是矩形，MHHN，OPOH，OPOHOM，M（1，0），N（4，0），OM1，MN3，MHHNMN，设 OPOHOMx，MHOHOMx1，x1，x，OH2，OP2，点 P 的坐标为（0，2）；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，如图 4 所示：同理可得 OHOP2，点 P 的坐标为（0，2）；综上所述，当MPN 度数最大时点 P 的坐标为（0，2）或（0，2）
