1、第七单元 不等式 第一节 不等关系与一元二次不等式基础梳理.n an b1.不等式的基本性质(1)abb_a；(2)ab，bca_c；(3)abac_bc；(4)ab，c0ac_bc；(5)ab，cb，cdac_bd；(7)ab0，cd0ac_bd；(8)ab0，nN*，n1an_bn，_.00,0.abababab a babab R11,01.aabbaab abbaabb R2.实数比较大小的方法(1)差比法(2)商比法 ax2bxc0)的解集 ax2bxc0(a0)的解集 没有实数根 有两相等实根x1x2 有两相异 实根x1、x2(x10)的根 二次函数 yax2bxc(a0)的图象
2、0 判别式 b24ac 2ba3.一元二次不等式的解集如下表 x|xx1或 xx2 x|xR且 x 2baR x|x1xx2 0 xaxb0 xaxb0 xaxb00 xaxbxb 0 xaxb00.xaxbxb ，4.分式不等式与一元二次不等式的关系 设a0；等价于(xa)(xb)bc2知c0，又c20，则ab，故为真 解析：由x22xmx，可得x24x2mx0，即xx(42m)0.不等式的解集为x|0 x2，42m2，m1.1 题型一 不等式性质的应用【例1】对于实数a，b，c，有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ababb2；若cab0，则 abcacb；若ab，11ab，则a0
3、，bb2，由可得a2ab，a2abb2为真 中，由ab，得ab，caab0，0ca0.又ab0，为真 中，由abab0，0，又ab0，abb，a0，b0为真综上可知，真命题有4个 变式11 (2010全国)设alog32，bln 2，c 则a，b，c的大小关系是_125,解:因为f(x)所以 20,2,0,xxx x，题型二 一元二次不等式的解法【例2】(2010江苏改编)已知函数f(x)20,2,0,xxx x，解不等式f(1x2)2x.解析：方法一：alog32 ，bln 2 ，而log23log2e1，所以ab，c=，而 2log24log23，所以ca，综上，cab.方法二：alog3
4、2 ，bln 2 ，1log2elog232，1，c5 ，cab.21log 321log e12515521log 321log e21log 321log e12151212142222222210,10,(1)2(1)222(1)2(1)(1)0(1)(1)02302101111(1)(3)0(1)0111131111111xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 或或或或或或或或或1所以原不等式的解集为x|x1或x1变式21 解关于x的一元二次不等式x2(3a)x3a0.解析：x2(3a)x3a0，(x3)(xa)0.(1)当a3时，不等式解集为x|xa或x3
5、;(2)当a3时，不等式的解集为x|xR且x3；(3)当a3时，不等式解集为x|x3或xa 题型三 解含参数的一元二次不等式【例3】已知函数 且方程f(x)x120有两实根x13，x24.(1)求实数f(x)的解析式；(2)设k1，解关于x的不等式f(x)2()xf xaxb(a，b为常数)，(1).2kkx分析：(1)把根x13，x24代入方程，列出关于a，b的方程组求出a，b即可；(2)需要对k进行讨论 解析：(1)由题意得：解得：(2)原不等式可变为 可化为 9931684abab 12ab 2(2)2xf xxx所以2(1)22xkxkxx2(1)0,2xkxkx即(x2)(x1)(x
6、k)0.由数轴标根法可解得：当1k2时，解集为x(1，k)(2，)；当k2时，解集为x(1,2)(2，)；当k2时，解集为x(1,2)(k，)变式31 若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，则实数 a的取值范围是_ 解析：当a0时，不等式2x20的解集不为R，故a0不满足题意；当a0时,要使原不等式解集为R,只需 综上，所求实数a的取值范围为 .20,1,24 20,2aaa 解得1(,)2 1(,)2 题型四 一元二次不等式的实际应用【例4】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品
7、，决定征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点若要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围 解:降低税率后的税率为(10 x)%，农产品的收购量为a(1 2x%)万担，收购总金额为200a(12x%)，于是税收y(万元)与x的函数关系式 y200a(12x%)(10 x)%a(1002x)(10 x)(0 x10)又原计划税收为200a10%20a(万元)，故有a(1002x)(10 x)20a83.2%，化简得，x240 x840，42x2，又0 x10，0 x2.x的取值范围是0 x2.链接高考0,0axbacxybdcyd 知识准备：要知道不等式的三个基本性质：(1)0axba2x2b2；(2)0axb1b1x1a；(3)解析：由4 9得 16,81 又由3xy28，得 ，故有 2,27，即 的最大值是27.2xy22()xy21xy1 1,8 334xy22()xy21xy34xy2xy34xy(2010江苏)设实数x，y满足3xy28,49，则的最大值是_
