1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系选题明细表知识点、方法题号空间中直线之间的位置关系1,3,9,10平行公理与等角定理2,5,6,8异面直线所成的角4,7,11,12基础巩固1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定(D)(A)异面 (B)相交(C)不相交(D)不平行解析:和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.若平行,则确定一个平面,两异面直线也在这个面内.2.已知空间两个角,与的两边对应平行,且=60,则等于(D)(A)60 (B)120(C)30 (D)60或120解析:由等角定理可知,与相等或互补,故=60或120.3.若a,b是异面直线,b,c是异面直
2、线,则(D)(A)ac(B)a,c是异面直线(C)a,c相交(D)a,c平行或相交或异面解析:例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AB,CD所在直线分别为a,c, B1C1所在直线为b,满足条件要求,此时ac;又取AB,BC所在直线分别为a,c,DD1所在直线为b,也满足题设要求,此时a与c相交;又取AB, CC1所在直线分别为a,c,A1D1所在直线为b,则此时,a与c异面.故选D.4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:连接BD,B1D1,D1C知D1B
3、1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为60,故B1C与EF所成角也是60.5.三棱锥的对角线互相垂直相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是(D)(A)梯形 (B)矩形(C)平行四边形 (D)正方形解析:如图所示,因为BDAC,且BD=AC,又因为E,F,G,H分别为对应边的中点,所以FGEHBD,HGEFAC.所以FGHG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.6.若ABAB,ACAC,有下列结论:BAC=BAC;ABC+ABC=180;BAC=BAC或BAC+BAC=180.则一定成立的是(填序号).解析:因为ABAB,ACAC,所以BAC=BAC或BAC+BAC=1
4、80.答案:7.空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为40,E,F分别为BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成角的大小是.解析:取AC的中点G,连接GE与GF,AB与CD(异面直线)所成角为40,因为EGAB,FGCD,所以EGF=40或EGF=140,而AB=CD,则GE=GF,所以GEF=70或GEF=20.所以EF与AB所成的角是70或20.答案:70或208.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:NMP=BA1D.证明:如图,连接CB1,CD1,因为CDA1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形
5、,所以A1DB1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MNB1C,所以MNA1D.因为BCA1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MPCD1,所以MPA1B,所以NMP和BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以NMP=BA1D.能力提升9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(A)(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直解析:如图所示,连接BD1,CD1,CD1与C1D交于点F,由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形,在平行四边形A1BC
6、D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,所以EFBD1,且A1B,EF共面,所以直线A1B与直线EF相交,故选A.10.(2018清远市高一期末)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上结论中正确的是(填序号).解析:把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,ABEF, EF与MN是异面直线,ABCM,MNCD,只有正确.答案:11.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所
7、成角的正切值的大小.解:(1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=42=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),由已知,可得DE= ,EM=,MD=,因为()2+()2=()2,所以DEM为直角三角形,所以tanEMD=.探究创新12.已知四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60,且BD=AC=1.求EF的长度.解:如图,取BC中点O,连接OE,OF,因为OEAC,OFBD,所以EOF即为AC与BD所成的角或其补角.而AC,BD所成的角为60,所以EOF=60或EOF=120.当EOF=60时,EF=OE=OF=;当EOF=120时,取EF中点M,则OMEF,EF=2EM=2OEcos 30=2=.
