1、72复数的四则运算72.1复数的加、减运算及其几何意义目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则；2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题重点 复数加法与减法的运算法则难点 复数加法与减法的几何意义 要点整合夯基础 知识点一复数加法与减法的运算法则填一填1运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)z1z2(ac)(bd)i；(2)z1z2(ac)(bd)i.2加法运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)答一答1两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？提示：
2、两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数2若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?提示：不能如2ii0，但2i与i不能比较大小知识点二 复数加法与减法的几何意义填一填如图，设，分别与复数z1abi，z2cdi对应，则(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐标运算，得(ac，bd).(ac，bd)这说明两个向量与的和就是与复数(ac)(bd)i对应的向量，与的差就是与复数(ac)(bd)i对应的向量，即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是.答一答3设复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)对应的向量分别是，那么向量，的坐标分别是什么？z
3、1z2对应的向量的坐标是什么？提示：由复数与平面向量的一一对应可知(a，b)，(c，d)，故(ac，bd)由复数加法的几何意义可知即为z1z2对应的向量，故z1z2对应的向量的坐标为(ab，cd)4从复数减法的几何意义理解：|z1z2|表示什么？提示：表示Z1与Z2两点间的距离5若a，b，r为实常数，且r0，则满足|z(abi)|r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？ 提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆. 典例讲练破题型 类型一复数的加减法运算例1(1)(13i)(2i)(23i)；(2)(2i)(15i)(34i)；(3)5i(34i)(13i)；(4)(abi)(3a4bi)5
4、i(a，bR)分析复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行解(1)原式(14i)(23i)1i.(2)原式(36i)(34i)62i.(3)原式5i(4i)44i.(4)原式(2a5bi)5i2a(5b5)i.1.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行.2.算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.变式训练1设f(z)z2i，z134i，z22i，则f(z1z2)等于(D)A15i B29i C2i D53i解析：z1z255i
5、，f(z1z2)55i2i53i.类型二复数加减法的几何意义例2(1)设及分别与复数z153i及复数z24i对应，计算z1z2，并在复平面内作出.(2)设及分别与复数z113i及复数z22i对应，计算z1z2，并在复平面内作出.分析由复数的几何意义知，复数z1及复数z2所对应的点即分别为Z1和Z2.就是表示向量，而可利用平行四边形法则作出解(1)z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i.即为，如图所示(2)z1z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.即为，如图所示1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足
6、平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式训练2复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点C对应的复数解：对应的复数为12i，对应的复数为3i，对应的复数为(3i)(12i)23i.又，C点对应的复数为(2i)(23i)42i.类型三复数加减法的综合运算例3已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值分析利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题解方法1：设wz34i，zw34i.z1iw45i.又|z1i|1，|w45i|1.可知w对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心，1为
7、半径的圆如图(1)所示，|w|max1，|w|min1.方法2：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3，4)的距离，在圆上与(3，4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z34i|max1，|z34i|min1.|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离，利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.变式训练3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解：设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，
8、C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|OC|. 课堂达标练经典 1(63i)(3i1)(22i)的结果为(C)A53i B35iC78i D72i解析：(63i)(3i1)(22i)(612)(332)i78i.2在复平面内，复数1i和13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|(B)A. B2C. D4解析：由复数减法的几何意义知，对应的复数为(13i)(1i)2i，|2.3已知复数z满足z3i3i233i，则z(B)A0 B6iC6 D66i解析：z3i3i233i
9、，z(33i)(3i3)6i.4在复平面内，O是原点，对应的复数分别为2i，32i,15i，那么对应的复数为44i.解析：()，对应的复数为(2i)(32i)(15i)(231)(125)i(44i)44i.5已知|z|2，则|z34i|的最大值是7.解析：由|z|2知复数z对应的点在圆心为O(0,0)，半径r2的圆上而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点与M(3,4)之间的距离，由于|OM|5，所以|z34i|的最大值为|OM|r527.本课须掌握的两大问题1对复数加法的理解(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的(3)复数的加法运算的结果仍然是复数(4)实数的移项法则在复数中仍然成立(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形2对复数加、减法几何意义的理解(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题
