1、专题六 函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2020全国卷)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减解析f(x)ln|2x1|ln|2x1|的定义域为.f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)为奇函数，故排除A，C
2、.又当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)ln ln ln ，y1在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减.故选D.答案D2.(2019全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()解析显然f(x)f(x)，x，所以f(x)为奇函数，排除A；又当x时， f()0，排除B，C，只有D适合.答案D3.(2020新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A.1，13，) B.3，10，1C.1，01，) D.1，01，3解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)单调递减，
3、且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1，01，3.故选D.答案D4.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)f(x)(eax)eax，所以f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a8.解得a3.答案3考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称
4、变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于点(a，0)对称.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：若f(x)是偶函数，则f(x)f(x).若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)0.奇函数在关于原点对称
5、的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：若yf(x)对xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)恒成立，则yf(x)是周期为2a的周期函数.若yf(x)是偶函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.若yf(x)是奇函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.若f(xa)f(x)，则yf(x)是周期为2|a|的周期函数.易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示【例1】 (1)(2020合肥质检)函数f
6、(x)ln(3x1)的定义域为()A. B.C. D.(2)(2020西安模拟)已知函数f(x)若f(1)3，则不等式f(x)5的解集为()A.2，1 B.3，3C.2，2 D.2，3解析(1)要使函数f(x)ln(3x1)有意义，则解得x.f(x)的定义域为.(2)f(x)f(1)3，f(1)a113，则a，故f(x)由f(x)5，当x0时，2x15，解得0x3，当x0时，15，2x0.综上，不等式f(x)5的解集为2，3.答案(1)B(2)D探究提高1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f(g(x)中g(x)的范
7、围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.【训练1】 (1)(2020成都诊断)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：0.51，1.51.已知函数f(x)4x32x4(0x2)，则函数yf(x)的值域为()A. B.1，0，1C.1，0，1，2 D.0，1，2(2)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)解析(1)令t2x，t(1，4)，则
8、f(t)t23t4，t(1，4).由二次函数性质，f(t)，因此f(t)1，0，1.则函数yf(x)的值域为1，0，1.(2)当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0.答案(1)B(2)D热点二函数的图象及应用【例2】 (1)(2020浙江卷)函数yxcos xsin x在区间，上的图象可能是()(2)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.1，4C.4，) D.(，14，)解析(1)因为f(x)xcos xsin x，则f(x)x
9、cos xsin xf(x)，又x，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x时，ycos sin 0，知B错误，只有A满足.(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12.因此a4或a1.答案(1)A(2)D探究提高1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.2.(1)运用函数图象解决问题时，先
10、要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (1)(2019全国卷)函数y在6，6的图象大致为()(2)(2020北京卷)已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1) B.(，1)(1，)C.(0，1) D.(，0)(1，)解析(1)因为yf(x)，x6，6，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当x4时，y(7，8)，排除A，D项，B正确.(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)2x，g(x)x
11、1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)0等价于2xx1，结合图象，可得x0或x1.故f(x)0的解集为(，0)(1，).故选D.答案(1)B(2)D热点三函数的性质及应用角度1函数的周期性、奇偶性【例3】 (1)(2020淄博二模)偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当1x0时，f(x)x21，则f(2 020)()A.2 B.0 C.1 D.1(2)(多选题)(2020淄博质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x1)是偶函数，f(x1)是奇函数，则下列说法正确的是()A.f(7)0B.f(x)的一个周期为8C.f(x)图象的一个对称中心为(3，0)D.f
12、(x)图象的一条对称轴为直线x2 019解析(1)f(x)为偶函数，f(x)的图象关于直线x0对称，又f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(x)的周期T4|10|4.f(2 020)f(2 0204505)f(0)，又当1x0时，f(x)x21.故f(2 020)f(0)1.(2)依题意知，直线x1是f(x)图象的一条对称轴，(1，0)是f(x)图象的一个对称中心，又因为f(x1)是偶函数，f(x1)是奇函数，所以f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(x)f(x2)，f(x)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，f(x)f(x4)f(x8)f(x8)，
13、所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7)f(1)0，故A正确；因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；x2 01982523，所以直线x2 019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误，故选ABC.答案(1)D(2)ABC角度2函数的单调性与最值【例4】 (1)(2020福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且当x0时，f(x)2x，设af(31.2)，bf(30.2)，cf(log30.2)，则()A.cba B.abcC.cab D.acb(2)(2020东北三省
14、三校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，且f(x)在(，0上单调递减，若不等式f(ax2)f(1)对于任意x1，2恒成立，则a的最大值为_.解析(1)由f(x)f(x)0及函数f(x)的定义域为R，知f(x)是偶函数，易知f(x)2x在0，)上单调递增.因为af(31.2)f(31.2)，cf(log30.2)ff(log35)f(log35)，且31.23，1log33log35log3273，030.21，即31.2log3530.20，所以f(31.2)f(log35)f(30.2)，即acb.(2)由于f(x)满足f(x)f(x)，且函数f(x)的定义域为R，可知f
15、(x)的图象关于y轴对称，f(x)在(，0上单调递减，f(x)在0，)上单调递增.根据f(x)的图象特征可得1ax21在1，2上恒成立，得a在1，2上恒成立.所以a1，故a的最大值为1.答案(1)D(2)1探究提高1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2020贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当1x0时，f(x)2x1，则f(log220)()A. B. C. D.(2)(多选题)已知f(x)为定义在R
16、上的奇函数，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0，1)时，f(x)log2(x1)，下列命题正确的是()A.f(2 019)f(2 020)0B.函数f(x)在定义域上是周期为2的函数C.直线yx与函数f(x)的图象有2个交点D.函数f(x)的值域为(1，1)解析(1)依题意，知f(2x)f(x)f(x)，则f(4x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2log253，则12log250，所以f(log220)f(2log25)f(log252)f(2log25)(22log251).(2)根据题意，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0，1)时，f(x)log2(x1)，又
17、由f(x)为奇函数，则f(x)的部分图象如图.对于A，当x0时，有f(x1)f(x)，则f(x2)f(x1)f(x)，即f(x2)f(x).当x0，1)时，f(x)log2(x1)，则f(0)log210，f(1)f(0)0，又f(2 019)f(1)0，f(2 020)f(0)0，f(x)为奇函数，所以f(2 020)f(2 020)0，故f(2 019)f(2 020)0，故A正确；对于B，由于ffflog2，fflog2，ff，即周期不是2，B错误；对于C，如图，直线yx与函数f(x)的图象有1个交点，其坐标为(0，0)，C错误；对于D，函数f(x)的值域为(1，1)，D正确.故选AD.
18、答案(1)B(2)ADA级巩固提升一、选择题1.设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当xf(2)f(2)B.ff(2)f(2)C.f(2)f(2)fD.f(2)f(2)f解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34). 又因为log341220，且函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(log34)f(2)时，f(x)0，则以下结论正确的是()A.f(0)，f(1)B.f(x)为R上的减函数C.f(x)为奇函数D.f(x)1为偶函数解析由已知，令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)，令x，y，得fff，f1，再令xy，得fff，f(1)，A
19、正确；取y1，得f(x1)f(x)f(1)，f(x1)f(x)10，即f(x1)f(x)，x10，f(x)在1，3上是增函数，f(x)minf(1).又g(x)在1，3上是减函数，知g(x)maxg(1)a1.若恒有f(x1)g(x2)成立，则a1，a.答案三、解答题10.已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)f(2).解(1)f(0)aa1.(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：f(x)的定义域为R，任取x1，x2R且x1x2，则f(x1)f(x2)aa，y2x在R上单调递增且x1x2，02x12x2，
20、2x12x20，2x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a1(经检验符合题意).f(ax)f(2)即为f(x)f(2)，又f(x)在R上单调递增，x2.不等式的解集为(，2).B级能力突破11.(2020福州模拟)已知函数f(x1)是定义在R上的偶函数，x1，x21，)，且x1x2，都有(x1x2)f(x2)f(x1)0，则不等式f(2x11)f(5)的解集为_.解析因为函数f(x1)是定义在R上的偶函数，所以f(x1)的图象关于y轴对称.因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x1)的图象
21、，所以f(x)的图象关于直线x1对称.因为x1，x21，)，且x1x2，都有(x1x2)f(x2)f(x1)0，所以函数f(x)在1，)上单调递增，由此可得函数f(x)在(，1)上单调递减.因为f(2x11)f(5)，且f(5)f(3)，2x111，所以2x113，即2x14，解得x1，所以所求不等式的解集为(，1).答案(，1)12.已知函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)2x0，得x1.当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以函数f(x)在x1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，所以k(x)在1，2)上单调递减，在(2，3上单调递增，所以当x2时，函数k(x)取得最小值k(2)22ln 2a.因为函数k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点，即有k(x)在1，2)和(2，3内各有一个零点，所以即有解得22ln 2a32ln 3.所以实数a的取值范围为(22ln 2，32ln 3.
