1、河北省衡水市第十四中学2020-2021学年高二数学下学期摸底考试试题一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，集合Mx|x23x+4，Nx|x3，则MN（）A（1，3）B（12）C（3，4）D（4，+）2已知i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知数列an是等差数列，记数列an的前n项和为Sn，若a137，则S25（）A350B700CD1754（5分）若双曲线mx2y21的一条渐近线为2xy0，则实数m（）ABC2D45已知函数f（x）2log2（xa）log2x若对于任
2、意的x（0，+），都有f（x）1，则实数a的取值范围是（）A（，1）BC（，1D6已知正三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1的面积为4，则正三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积的最小值为（）ABCD7已知点O为ABC的外心，且A，则ABC的形状是（）A直角三角形B等边三角形C直角三角形或等边三角形D钝角三角形8已知直线l过点（2，0）且倾斜角为，若l与圆（x3）2+y220相切，则（）ABCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分 9(2020山东临沂二模、枣庄三调)设向量a(2,0
3、)，b(1,1)，则()A|a|b|B(ab)bC(ab)bDa与b的夹角为 10如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF，则下列结论中正确的是（）AACBEBEF平面ABCDCAEF的面积与BEF的面积相等D三棱锥EABF的体积为定值11已知函数f（x）asinx+bcosx（ab0），且对任意xR都有，则（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）在上单调递增C是f（x）的一个零点D12(多选)(2020山东潍坊高密一模)关于函数f(x)，下列结论正确的是()A图象关于y轴对称B图象关于原点对称C在(，0)上单调递增Df(x)恒大于0 第卷(非选
4、择题共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数f（x）xex1，则曲线yf（x）在x1处的切线方程为 14.（5分）2020年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等城区修建了方舱医院，专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者现将6名志愿者分配到汉阳、江岸、硚口这3个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志愿者，则不同的分配方法有 种（用数字作答）x0246y12m+12m3m15已知x与y之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系则y与x的回归直线方程必过定点 16已知A（5，0），B（5，0），若对任意实数tR，
5、点P都满足，则的最小值为 ，此时| 四、 解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数的图象与直线y2的相邻两个交点间的距离为2，且_在函数为偶函数；xR，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在0，上的单调递增区间18. 已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.19如图，在菱形ABCD中，A60且AB2，E为AD的中点，将ABE沿BE折起使AD，得到如图所示的四棱锥ABCDE（）求证：平面ABE平面ABC；（）若P为AC的中点，求三棱锥PA
6、BD的体积20某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩，把其中不低于50分的分成五段50，60），60，70），90，100后画出如图部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率21（12分）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|4（1）求椭圆C的方程；（2）已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定
7、点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求ADP面积的最大值；若不存在，说明理由22（12分）已知函数f（x）2lnx+x22ax（a0）（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明数学参考答案及评分标准一1【分析】求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|x23x+4x|1x4，Nx|x3，MNx|1x3（1，3）故选：A2【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可【解答】解：z，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B3【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列通项公式能求出S25的值【解答】解：数列an是等差数列，记数列an的
8、前n项和为Sn，a137，S25（a1+a25）25a13175故选：D4求解得答案【解答】解：双曲线mx2y21化为标准方程为，其渐近线方程为y，又双曲线mx2y21的一条渐近线为2xy0，即m4故选：D5【分析】由对数的运算性质可得，即，令，则由二次函数的最值求法，即可得到所求范围【解答】解：由f（x）1整理得log2（xa）log2x+log2，所以，即，令，则令，其图象的对称轴为，所以g（t）ming（），则故选：B6【分析】画出图形，设出侧面BCC1B1的边长，利用面积列出关系式，转化求解外接球的半径的最小值，然后求解表面积的最小值即可【解答】解：如图：设BCa，BB1b，球的半径为
9、R，外接球的球心为O，底面三角形的中心为O1，由侧面BCC1B1的面积为4，可得ab4，外接球的表面积取最小值时，外接球的半径最小，A1O1a，R，当且仅当，ab4，即a，b时等号成立此时外接球取得最小值：4故选：D7【分析】取AB、AC的中点E、F，则根据平面向量的三角形法则可得2a2b2+c2，然后求出B的范围，再求出B的值，根据三角形的内角和定理可得ABC，即可判断ABC的形状【解答】解：取AB、AC的中点E、F，则（）（）（）（a2b2），同理（c2a2），所以2a2b2+c2又A，由余弦定理，得a2b2+c2bc，即b2+c2a2+bc，所以bca2，由正弦定理，得sinBsinCs
10、in2A，即sinBsin（B），所以sinBsin（B）sinB（cosB+sinB）sin2B+，所以sin2Bcos2B2，所以2sin（2B）2，即sin（2B）1，因为B，2B（，），所以2B，解得B，所以ABC，ABC的形状是等边三角形故选：B8.【分析】求出圆的圆心和半径，根据点到直线的距离求出m的值，求出tan的值，再化简三角函数，根据二倍角公式求出答案即可【解答】解：圆（x3）2+y220的圆心坐标是（3，0），半径r2，设直线l的方程为xmy2，即xmy+20，显然m0，由题意得：2，化简得4m210，解得：m或m，tan，tan2，sin（2）cos2故选：A二9.答案C
11、D解析因为a(2,0)，b(1,1)，所以|a|2，|b|，所以|a|b|，故A错误；因为a(2,0)，b(1,1)，所以ab(1，1)，所以(ab)与b不平行，故B错误；又(ab)b110，故C正确；又cosa，b，所以a与b的夹角为，故D正确故选CD.10【分析】证明线面垂直，可得线线垂直判断A；由直线与平面平行的判定定理判断B；由点A和点B到EF的距离不相等，可得AEF的面积与BEF的面积不相等，判断C错误；连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥ABEF的高，利用等体积法证明三棱锥EABF的体积为定值判断D【解答】解：由正方体的结构特征可知，DD1平面ABCD，而AC平面ABCD，则D1D
12、AC，又ABCD为正方形，ACBD，D1DBDD，且D1D、BD平面DD1B1B，AC平面DD1B1B，BE平面DD1B1B，ACBE，故A正确；B1D1BD，BD平面ABCD，B1D1平面ABCD，BD平面ABCD，而EF在B1D1上，EF平面ABCD，故B正确；点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则AEF的面积与BEF的面积不相等，故C错误；如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥ABEF的高，EFBB11，则为定值，故D正确故选：ABD11【分析】由已知可得函数f（x）的图象关于x对称，则f（0）f（），由此可求得ab，代入f（x）解析式中，利用辅助角公式化简可
13、得f（x）2bsin（x+），由正弦函数的性质逐一选项判断即可得结论【解答】解：函数f（x）asinx+bcosx（ab0），且对任意xR都有，所以函数f（x）的图象关于x对称，所以f（0）f（），即bab，所以ab，由ab0，可得，故D正确；所以f（x）bsinx+bcosx2b（sinx+cosx）2bsin（x+），所以f（x）的最小正周期为2，故A正确；当x，x+，当b0时，f（x）在上单调递增；当b0时，f（x）在上单调递减，故B错误当x时，f（x）0，故是f（x）的一个零点，故C正确故选：ACD12答案ACD解析函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)，f(x)f(x)
14、，故函数f(x)为偶函数，所以A正确，B不正确；当x0时，y0，且y在(0，)上单调递减，当x0时，y10，且y1在(0，)上单调递减，而f(x)，故f(x)在(0，)上单调递减，又f(x)为偶函数，故f(x)在(，0)上单调递增，所以C正确；由知，f(x)，当x0时，0，ex10，又f(x)关于y轴对称，故D正确故选ACD三13【分析】求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程即可【解答】解：f（x）xex1+ex1f（1）2，f（1）1，故切线方程是：y12（x1），即y2x1；14【分析】根据题意，按分配人数的不同分3种情况讨论，求出每种情况的方案数目，由加法原理计算可得答案由
15、分类加法原理，所以共有90+360+90540种分配方案15【分析】运用回归直线过样本中心点可得结果【解答】解：根据题意得，回归直线过样本中心点3，y与x的回归直线方程必过定点（3，）故答案为（3，）16【分析】不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，设，H为AB上一点，推出，说明P到直线AB的距离为3，P点在直线L：y3上，然后求解取最小值16，推出【解答】解：A（5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，故，所以
16、，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y3上，可得：A（5，0），B（5，0），P（x，3），则（5x，3）（5x，3）x225+9x216，当且仅当x0时，取最小值16，此时P（0，3），故答案为：16；6四17【分析】（1）根据三角函数的图象和性质分别求出 和的值即可（2）求出角的范围，结合是函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）函数的图象与直线y2的相邻两个交点间的距离为2，即周期T2，即2，得1，则f（x）2sin（x+）若选函数为偶函数，则2sin（x+）是偶函数，则+k+，kZ，得k+，kZ，0，k0时，则f（x）2sin（x+）若选，则f（x）2sin（+），即sin（+
17、），0，+，则+，即，则则f（x）2sin（x+）若选xR，当x时，函数f（x）取得最大值，即+2k+，kZ，得2k+，kZ，0，k0时，则f（x）2sin（x+）综上函数f（x）的解析式为f（x）2sin（x+）（2）当x0，时，x+，则当x+，时，函数f（x）为增函数，此时由x+，得0x，即f（x）在0，上的单调递增区间为0，18. (本小题满分12分)（）设等比数列an的公比为q，a26，a3a472，6q6q272，即q2q120，q3或q4又an0，q0，q3，a12ana1qn123n1(nN*).（）bn23n1n，Sn2(13323n1)(123n)23n119【分析】（）由已
18、知证明AE底面BCDE，可得BCAE，再由BCBE，得到BC平面ABE，进一步可得平面ABE平面ABC；（）利用VPABDVABCDVPBCD求解【解答】证明：（）在图中，由AB2，AE1，A60，得BE2AB2+AE22ABAEcos60AE2+BE2AB2，可得BEAE，则BEBC在图中，有AEBE，又AEED1，AD，AE2+ED2AD2，即AEEDBEEDE，AE平面BCDE，得AEBC，又BEAEE，BC平面ABE，而BC平面ABC，平面ABE平面ABC；解：（）由（）知，AE平面BCD，且AE1，P为AC的中点，P到平面BCD的距离为又2VPABDVABCDVPBCD故三棱锥PAB
19、D的体积为20【分析】（1）低于50分的频率为0.1，由此能求出低于50分的人数（2）成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），频率之和为0.75，由此可以估计这次考试化学学科及格率约为75%（3）“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在50，60）这组的人数是9人，由此能求出从成绩不及格的学生中随机调查1人，他的成绩低于50分的概率【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为：1（0.0152+0.03+0.025+0.005）100.1，所以低于50分的人数为600.16（人）（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分
20、的为第一组），频率之和为（0.015+0.03+0.025+0.005）100.75，所以，抽样学生成绩的及格率是75%，于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在50，60）这组的人数是0.01510609（人），所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，故他的成绩低于50分的概率为21【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，结合顶点的概念和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为yk（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，可得
21、D的坐标，由A（2，0），B（2，0），设P（m，n），在平面内假设存在一定点P，使得恒成立，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，结合恒等式的性质，可得m，n，可得P的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求三角形的面积的最大值【解答】解：（1）双曲线的离心率为2，由题意可得椭圆的离心率为e，|AB|4，即2a4，即a2，b，椭圆的方程为+1；（2）过左顶点A的直线l的斜率显然存在，设为k，方程设为yk（x+2），可得E（0，2k），且A（2，0），B（2，0），设P（m，n），由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2120，则2xD，即xD，即有D（，），在平面内假设存在一
22、定点P，使得恒成立可得（m，2kn）（2，）（m）（）+（2kn）0，由于上式恒成立，可得k（4m+6）3n0，即有4m+60，且3n0，可得m，n0，则存在P（，0），使得恒成立此时SADP|AP|yD|，当k0时，SADP0；当k0时，SADP时，取得等号综上可得，SADP的最大值为，当且仅当|k|2，即k22【分析】（1）由于f（x）+2x2a，令x2ax+10，a24，分若a240与a240两类讨论，即可求得f（x）在（0，+）单调区间；（2）依题意，可求得a，则问题转为证明0即可，由0x11x2，易证结论成立【解答】（1）解：f（x）2lnx+x22ax（a0），f（x）+2x2a，
23、令x2ax+10，a24，若a240，当a2时，x2ax+10的两个根x1x2，且x1+x2a，x1x21，故均为正，所以，f（x）在（0，x1），（x2，+）单调递增，在（x1，x2）单调递减；若a240，即0a2时，f（x）0恒成立，故f（x）在（0，+）单调递增；综上所述，0a2时，f（x）在（0，+）单调递增；当a2时，f（x）在（0，x1），（x2，+）单调递增，在（x1，x2）单调递减；（2）证明：由（1）知a2，0x11x2，x1+x2a，x1x21，则f（x1）f（x2）2lnx1+2ax12lnx2+2ax22（lnx1lnx2）+（x1+x2）（x1x2）2a（x1x2），则+（x1+x2）2a+a2aa，则问题转为证明0即可，由0x11x2，知，上式成立，故原结论成立
