1、四川省宜宾市第四中学2020届高三数学第一次适应性考试试题 理（含解析）第I卷 选择题一、选择题：本题共12小题，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合为自然数集，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，再利用交集定义，即可得到答案；【详解】集合为自然数集，集合，1，2，3，故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知复数满足（是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出其共轭复
2、数，而后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】，其共轭复数为：，在复平面内对应点的坐标为，在第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.3.已知平面向量, , 且, 则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量，列出方程求得的值，得到向量的坐标，再由模的计算公式，即可求解【详解】由题意，向量，则，解得，即，所以，故选D【点睛】本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人
3、苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ）A. 斗粟B. 斗粟C. 斗粟D. 斗粟【答案】D【解析】【分析】先确定羊、马、牛的主人应赔偿的比例，再根据比例分别计算各个主人应赔偿的斗数即可求解.【详解】羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是，故牛主人比羊主人多赔偿了斗.故选：D.【点睛】本题为一道数学文化题，考查阅读理解能力，
4、考查划归于转化思想，此类题型在近几年中经常出现.5.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品为事件，仅第二个实习生加工一等品为事件两种情况，则，故选：B【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生
5、的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.6.已知，其部分图象如图所示，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.【详解】由图可知，解得；又因为，故可得；由五点作图法可知，解得，故.故选：D.【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.7.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】B【解析】方法数有种.故选B.8.已知函数y=f（x）
6、，若对其定义域内任意x1和x2均有，则称函数为“凸函数”；若均有，则称f（x）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“凹函数”的定义及选项逐个进行判定，可利用特殊值简化判断过程.【详解】对于A，因为，所以不符合“凹函数”的定义；对于B，任意，因为，所以，符合“凹函数”的定义；对于C，因为，所以不符合“凹函数”的定义；对于D，因为，所以不符合“凹函数”的定义；故选：B.【点睛】本题主要考查函数性质的新定义，准确理解定义是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.9.设，若f（x）在上为增函数，则的取值范围是( )A. B. C. D
7、. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦函数的单调增区间，可得，故有，由此求得的取值范围【详解】设，在上，由于为增函数，即，求得，故选：D【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是，高为2的长方体该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个故，所以外接球的表面积为：故选：C 【点睛】本题考
8、查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11.若双曲线（，）一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率故选A点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程
9、(不等式)即可得e(e的取值范围)12.已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）f（x）+f（2）-1若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先表述出函数的解析式然后代入将函数表述出来，然后对底数进行讨论即可得到答案【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，记当时，若在区间上增函数，为增函数，令，t，要求对称轴，无解；当时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t，要求对称轴，解得，所以实数a的取值范围是，故选D【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数这里
10、注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减第II卷 非选择题二、填空题：13.若x，y满足约束条件则的最大值为_【答案】【解析】【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x2y为y=x，由图可知，当直线y=x过点A（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3故答案为3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法.14.的展开式中的系数为_.（用数字
11、填写答案）【答案】40【解析】【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：的展开式的通项为，则的展开式中的系数为，得解【详解】由的展开式的通项为，,则的展开式中的系数为，故答案为：40【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.过抛物线的焦点的一条直线交抛物线与两点，正三角形的顶点在直线上，则的边长是_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的方程与几何性质，利用是正三角形，求出直线AB的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB|的值.【详解】解：抛物线方程为，焦点为，准线方程为，如图所示，由是正三角形，设M为AB的中点，垂足分别为和N，则，又，直线AB的
12、斜率为，AB直线方程为；由，消去y，得，.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.16.若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由题意题目可转化方程有两个不等的正根，得，令，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案【详解】解：点关于原点对称的点为，题目可转化为函数与图像在第一象限内有两个交点，即方程有两个不等的正根，得，令，则，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题三、解答题：解
13、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：17.在中，内角、所对的边分别为、，设，且.（1）求角的大小；（2）若，在上，是的角平分线，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合正弦定理边角互化思想得出的值，再由角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理求得和的值，利用正弦定理可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.【详解】（1），且，则，由正弦定理可得；，即，则，则，所以，；（2）在中，由（1）得由余弦定理可得，则，由于是的角平分线，在中，由正弦定理得，同
14、理可得，得，在中，由余弦定理可得，解得.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角、三角形角平分线长的计算，考查了余弦定理以及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这10
15、0人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人，每人发放现金200元.用5表示体检3次的会员所得现金和，求的分布列及.【答案】（1）40元；（2）分布列见解析，240元.【解析】【分析】（1）求出三次体检医院的收入即可得到平均利润；（2）抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，可能取值为：0，200，400，分别计算概率得到分布列即可计算期望.【详解】（1）医院3次体检的收入为，三次体验的成本为故平均利润为元；（2）根据题意抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，可能取值为：0，200，400，分布列如下：（元）
16、.【点睛】此题考查求平均数，利用分层抽样求抽取的人数，计算概率并写出分布列，根据分布列求均值，属于中档题.19.如图，为矩形的边上一点，且，将沿折起到，使得.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取，的中点，连接，则，由题意可知，从而证明平面，即根据线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以为原点，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面的法向量，平面的法向量，再根据，计算二面角余弦值，即可.【详解】（1）取，的中点，连接，则，.又在矩形中又，平面，平面平面平
17、面又与为梯形的两腰，必相交，平面，平面平面，又平面平面平面.（2），.过点作，交与，则，以为坐标原点，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则各点坐标为，.设平面法向量为，则，即，取，则设平面的法向量为，则，即，取，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题.20.在平面直角坐标系中，点为椭圆：的右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线、斜率的乘积为，两直线，分别与椭圆交于、四点，求四边形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用点差法求出直线的斜率为：，又直
18、线的斜率为：，所以，得到，再结合，即可求出，的值，从而求得椭圆的方程；（2）设点，由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求四边形的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入得，再由弦长公式和点到直线距离公式求得，由椭圆的对称性可知：四边形的面积为，从而得到边形的面积为【详解】（1）由题意可知，设，又点，在椭圆上，两式相减得：，即直线的斜率为：，又直线过右焦点，过点，直线的斜率为：，又，椭圆的方程为：；（2）设点，由题意可知，即，当直线的斜率不存在时，显然，又，四边形的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程，消去得：，整理得：，由弦长公式得：，原点（
19、0，0）到直线的距离，由椭圆的对称性可知：四边形的面积为，综上所述，四边形的面积为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆中的面积问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线斜率是否存在的讨论.21.已知函数，是的导函数.（1）若，当时，函数在内有唯一的极大值，求的取值范围；（2）若，试研究的零点个数.【答案】（1）；（2）有个零点【解析】【分析】（1）先求导得，再分和两种情况讨论求得的取值范围；（2）分析可知，只需研究时零点的个数情况，再分两种情形讨论即可.【详解】（1）当时，在是减函数，且，当，时，恒成立，在是增函数，无极值；，当，时，使得，单调
20、递增；，单调递减，为唯一的极大值点，所以（2），可知，（i）时，无零点；所以只需研究，（ii）时，可知单调递减，唯一的，；（iii）当，是减函数，且，则，在是增函数，是减函数，并且，所以，；，且知在单调递减，在单调递增，在单调递减.又因为，所以，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
21、，曲线的极坐标方程为.（1）若点在直线上，且，求直线的斜率；（2）若，求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程，设出点的坐标，代入直线方程并化简，即可求得，即为直线的斜率；（2）先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线距离公式，再加半径即为圆上的点到直线距离的最大值.【详解】（1）设点，则，整理可得，即，直线的斜率为.（2）曲线的方程可化为，化成普通方程可得，即，曲线表示圆心为，半径为1的圆，直线的参数方程化成普通方程可得，圆心到直线的距离为，则曲线上的点到直线的距离的最大值为.【点睛】本题考查了极
22、坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化，点到直线距离公式的应用，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当时，原不等式可化为；当时，原不等式可化为，即，显然成立，此时解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为；（2）当时，因为，所以由可得，即，显然恒成立；所以满足题意；当时，因时， 显然不能成立，所以不满足题意；综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.
