1、福建省厦门第一中学2018-2019学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数，其中为虚数单位，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合复数的除法法则确定z的值，然后可得其虚部.【详解】由题意可得：，则的虚部是.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.2.已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后结合题意和恒成立的条件可得实数a的取值范围.【详解】由题意可得：命题：，命题：
2、，命题是的必要不充分条件，故不等式，即在区间上恒成立，据此可知：的取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示，由必要不充分条件求参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.若，满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法视频4.若，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定的取值范围，再通过对数函数的单调性确定的范围，进而比较三个数的大小详解：因，所以
3、，因为，所以，又，所以点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力5.数列满足，则数列的前项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得，的前项的和为，故选A.6.在算法统宗中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为，运行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设僧侣人数为x，则，则；运行该程序，第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，第六次，不成立，此时输
4、出的的值为，故选C.7.若函数，且，的最小值是，则下列判断正确的是（ ）A. 图象关于直线对称B. 图象关于点对称C. 在区间上递增D. 图象可由图象向右平移个单位得到【答案】C【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后结合函数的解析式考查函数的对称轴、对称中心、单调性等性质即可.【详解】函数的解析式即：，的最小值是，故，即：，解得：，函数的解析式即，考查所给的选项：A. 当时，题中的说法错误；B. 当时，故，题中的说法错误；C. 若，则，故在区间上递增，题中的说法正确；D. 图象向右平移个单位所得函数的解析式为：，题中的说法错误；故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解方法，三角
5、函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.高考结束后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学去、四地旅游，每人只去一地，每地均有人去，且甲同学只去地，则不同出行方案种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用加法原理和排列组合公式计算不同的出行方案种数即可.【详解】由题意可得，当A地只有1人时，出行方案种数为：种，当A地有2人时，出行方案种数为：种，结合分步加法计数原理可得不同出行方案种数为.故选：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足
6、特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)9.某变量的总体密度曲线为，变量的总体密度曲线为，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域记作I，II，在矩形区域中任取一点，则点落在区域I或II的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先利用微积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式可得概率值.【详解】由题意可得，区域的面积：.区域的面积：，则点落在区域I或II的概率为.故选：B.【点睛】本题主要考查定积分及其应用，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于，两点，过线段的中点且垂直于
7、的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和特殊角的三角函数值首先求得直线的倾斜角，然后确定其斜率即可.【详解】分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，因为，所以，所以MNN=30，即直线MN的倾斜角为150，又直线MN与直线垂直且直线的倾斜角为锐角，所以直线的倾斜角为60，的斜率为.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，直线的倾斜角及斜率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.棱长为的正方体中，一平行于平面的平面与棱，分别交于点，点在线段上，且，则三棱锥体积的最大值为（
8、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得三棱锥体积表达式，然后利用导函数求解体积的最大值即可.【详解】设，则由题意可得：，又平面，且，.故选：B.【点睛】本题主要考查立体几何中体积的求解，由导函数求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数，对于任意，不等式恒成立，则整数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数的最大值.【详解】，设，则有且，即恒成立，即，令，则在上单调递增，即恒成立，即，得，下证成立：，易证当时，考查函数：，则，故函数在区
9、间上单调递减，在区间上单调递增，当时，函数的最小值为，据此可得：，当时，故成立.故选：C.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。13.已知向量，若，则_.【答案】13【解析】【分析】先化简得到m的值，再求.【详解】因为，所以2m-18=0,所以m=9.所以=（4,6）+（9，-6）=（13,0），所以=13.故答案为：13.【点睛】(1)本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设=则.14.的展开式中，的系数为_.【答案】-5【解析】【分析】展开式与相
10、乘得到项，则展开式中项与相乘，项与-1相乘，再相加，得到系数.【详解】要求的系数，则展开式中项与相乘，项与-1相乘，所以展开式中项为与相乘得到，展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.15.已知，是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】由题意利用对称性首先求得点P的坐标，然后结合两点之间距离公式确定a,b的关系即可确定渐近线方程.【详解】设F1点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，则：，解得：，因为，所以P
11、F2=F2O=c，根据两点间距离可得，整理可得：，即，据此有：据此可得：，故的渐近线方程为.【点睛】本题主要考查点关于直线的对称性，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.平面四边形中，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定面积的最大值.【详解】设，依题意得，则中由余弦定理得：中正弦定理得：，即则，即，所以，当且仅当取等号.综上可得：面积的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答
12、题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可；(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【详解】（1）由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，当时，也满足上式，所以；（2）当时，所以【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，
13、再求an.18.如图，在三棱柱中，平面，是的中点，.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明：连接，发现，求出和，并证得，又平面，所以，所以平面，证得；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量为，设平面的法向量为，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接，因为在中，所以所以，因为所以，又平面，且平面，所以，所以平面，因为平面，所以（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，取所以，即二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题考查了直线与平面垂直的
14、证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.19.某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元。若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机
15、抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.【答案】(1) (2) 生产线上挽回的损失较多. 见解析【解析】【分析】(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；(2).由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，则，互为独立事件由已知有，则解得，则的最小值（2）由（1）知，
16、生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，则有，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：，所以生产线上挽回的损失较多.由已知得的可能取值为，用样本估计总体，则有，所以的分布列为所以（元）故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）【点睛】本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆的离心率，是椭圆上三个不同的点，为其右焦点，且，成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）若线段的垂直平分线与轴交点为，求直线的斜率.【答案】(1) (2) 【解析】【
17、分析】（1）由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；（2）由题意结合椭圆方程和等差数列的性质可得点D的坐标，然后结合点的坐标可得直线的斜率.详解】（1）依题意得，即，将点代入椭圆方程可得，即，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意得，即，且有，同理可得，又，成等差数列，则有.因为，两式相减可得，所以，则的中垂线为，令可得，所以为定点，则有.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中直线恒过定点的问题及应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.表示，中的最大值，如，己知函数，.（1）设，求函数在上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说
18、明理由.【答案】（1）个；（2）存在，.【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围试题解析：（1）设，1分令，得递增；令，得递减，2分，即，3分设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为25分（或由方程在上有两根可得）（2）假设存在实数，使得对恒成立，则，对恒成立，即，对恒成立 ，6分设，令，得递增；令，得递减，当即时，4故当时，对恒成立，8分当即时，在上递减，故当时，对恒成立10分若对恒成立，则，11分由及得，故存在实数，使
19、得对恒成立，且的取值范围为12分考点：导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22.曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以原点为极点，轴的正
20、半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的取值范围.【答案】(1) 的极坐标方程为，的极坐标方程为.(2) 【解析】【分析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可；(2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得的取值范围.【详解】（1）由消得，即将，代入，得的极坐标方程为，的极坐标方程为.（2）设直线的极坐标方程为，联立方程可得，所以又，则有，即综上的取值范围为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程转化，
21、极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（）由题意，可将的值分为和进行分类讨论，当时，函数不过原点，且最小值为，此时满足题意；当时，函数，再由函数的单调性及值域，求出实数的范围，最后综合两种情况，从而得出实数的范围.试题解析：（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.
