1、数学（理）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，若复数-3i(a+i)(aR）的实部与虚部相等，则a=（ ）A-1 B-2 C1 D22.已知集合，若，则a=（ ）A-1 B2 C-1或2 D-1或-23.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A0.2 B0.4 C0.5 D0.64.已知平面向量与的夹角为，且，则（ ）A1 B C2 D35.执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（ ）A17 B36 C52 D726.将函数（其中）的图象向右平移个单位长度，所得的图
2、象经过点，则的最小值是（ ）A B1 C D27.已知数列满足.若数列的最大项和最小项分别为M和m，则M+m=（ ）A B C D8.若x,y满足约束条件则当取最大值时，x+y的值为（ ）A-1 B1 C D9.已知在平面直角坐标系xOy中，点.命题P：若存在点P在圆上，使得，则；命题q：函数在区间(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A B C D10.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体E-FMC的体积为，多面体ADF-BCE的体积为，则（ ）A B C D不是定值，随点M的变化而变化11.已知双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，P是两曲线的一个公共
3、点，若，则双曲线的离心率等于（ ）A2 B C D12.已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x+2)=f(x)-f(1)，且当时，若函数在上至少有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于_.14.设某双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为，则此双曲线的
4、标准方程是_.15.在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a,b,c，且a=bcosC+csinB，则角B为_.16.定义在R上的函数满足：，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等差数列满足：，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在一次突击检查中，某质检部门对某超市A、B、C、D共4个品牌的食用油进行了检测，其中A品牌抽取了2个不同的批次.（1）若从这4个品牌共5个批次中任选3个批
5、次进行某项检测，求抽取的3个批次中至少有1个是A品牌的概率；（2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：若检测的这5个批次的食用油得分的平均值为a，从这5个批次中随机抽取2个，设这2个批次的食用油中得分超过a的个数为，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，M是棱的中点，N是对角线的中点.（1）求证：CN平面BNM；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作垂直于x轴的直线，直线垂直于点P，线段的垂直平分线交于点M.（1）求点M的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线AC、
6、BD，且分别交椭圆于A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数，设，其中.（1）若f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围；（2）记，求证：.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APE=CPE，点H是线段ED的中点.（1）证明：A、E、F、D四点共圆；（2）证明：.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为,过点P(1,0）的直线交曲线C于A，B两点.（1）将曲线C的参数方程化
7、为普通方程；（2）求的最值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）解不等式f(x)g(x)；（2）对任意的实数x，不等式恒成立，求实数m的最小值.2016届高三模拟考试数学试卷参考答案（理科）3.D 随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴为，又，根据对称性得，0.6.4.C 由题意知，解得2或-4（舍去）.5.D 根据程序框图可知k=1,S=0，进入循环体后，循环次数、S的值、k的值的变化情况为所以输出的S的值为72.6.D 将函数（其中）的图象向右平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为，因为该函数图象经过点，所以，所以，即，因为，所以的最小值为2.7.D 由则，
8、因为，所以n=5，最大项为.当时，又，且，所以最小项，故M+m=.8.D 作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(-3,-1)与可行域内的点(x,y)的直线的卸料车，由图可知，当直线过点时，斜率取得最大值，此时x,y的值分别为0，所以x+y=。9.A 命题P：因为，则以AB为直径的圆必与圆有公共点，所以，解得，命题p为真命题；命题q：因为，且f(x)在3,4上是连续不断的曲线，所以f(x)在(3,4)内有零点，命题q为假命题，故选A.10.B 由直观图和三视图可知，多面体ADF-BCE是以等腰直角三角形ADF为底面的直三棱柱，不妨设AD=DF=a=2，高DC=2，体积；AB平面EF
9、C，所以点M到平面EFC的距离就是点B到平面EFC的距离，又BC平面EFC，且BC=2，所以四面体E-FMC的体积，故.11.C 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为2c，且不妨设mn，由m+n=2，m-n=2得m=+,n=-，又，设双曲线的离心率为e，则，解得e=.12.B f(x+2)=f(x)-f(1)，且f(x)是定义域为R的偶函数，令x=-1可得f(-1+2)=f(-1)-f(1)，又f(-1)=f(1)，可得f(1)=0，则有f(x+2)=f(x)，f(x)是周期为2的偶函数.当时，函数f(x)的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线.函数在上至少有三个零点，令，则f(
10、x)的图象和g(x)的图象在上至少有三个交点，作出函数的图象，如图所示.，可得0af(2)，即，解得，又0a3，又.17.解：（1）设d为等差数列的公差，且d0，由，分别加上1,1,3后成等比数列，所以，因为d0，所以d=2，所以，又，所以，即.（2）由（1）知，所以-，得.所以.18.解：（1）记“抽取的3个批次中至少有1个是A品牌”为事件A，从这5个批次中任选3个批次的不同选法共有种，其中3个批次中没有A品牌的情况有种，故所求概率.（2）由表中数据可得，在这5个批次的食用油中得分超过a的有2个，所以的所有可能取值为0,1,2，故的分布列为.19.解：（1）因为AC=1，所以，即ACBC.又
11、，所以AC平面，连接，则B、N三点共线，则，所以是等腰三角形，又N是的中点，所以.连接，则，所以是等腰三角形，所以.因为，由勾股定理得，即.在MCN和中，所以，因为，所以，即CNMN，又BNNM=N，所以依据线面垂直的判定定理得CN平面BNM.（2）依题意CB平面，连接交于点H，因为侧面是正方形，所以，所以AH平面，即.取线段的中点Q，连接HQ、AQ，则HQ是的中位线，HQCN，由（1）知，所以，所以平面AHQ，则AQH是二面角的平面角.因为CN=1，所以，在中，所以为直角三角形，则，所以，又二面角的平面角是AQH的补角，所以二面角的余弦值是.20.解：（1），点M到定直线：x=-2的距离等于
12、它到定点的距离，点M的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线.点M的轨迹的方程为.（2）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，则直线BD的斜率为，直线AC的方程为y=k(x-2).联立，得，.由于直线BD的斜率为，用代换上式中的k可得，ACBD，四边形ABCD的面积.由于，当且仅当，即时取等号.易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8.综上，四边形ABCD面积的最小值为.21.解：（1）函数，函数，所以，因为f(x)在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，所以在上恒成立.令，则，当时，所以，所以实数a的取值范围为.（2），令，则.令Q(x)=x-lnx，则，显
13、然在区间(0,1)上单调递减，在区间上单调递增，则，则，故.22.证明：（1）PA是切线，AB是弦，BAP=C，又APD=CPE，BAP+APD=C+CPE，ADE=BAP+APD，AED=C+CPE，ADE=AED，即三角形ADE是等腰三角形.又点H是线段ED的中点，AH是线段ED的垂直平分线，即AHED，又由APE=CPE，可知PH是线段AF的垂直平分线，AF与ED互相垂直且平分，由于PBC是过点O的割线，四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆.（2）由切割线定理得，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，PA=PF，从而.23.解：（1）曲线C的参数方程为，消去参数得曲线C的普通方程为.（2）由题意知，直线的参数方程为，将代入得.设A，B对应的参数分别为，则.所以的最大值为1，最小值为.24.解：（1）由题意不等式f(x)g(x)可化为，当x-(x+1)，解得x-3，即-3xx+1，解得x2时，x-2+xx+1，解得x3，即x3.综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为.（2）由不等式，可得，分离参数m，得，所以，因为，所以，故实数m的最小值是3.
