1、 数学（理）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知x,yR，i是虚数单位，若2+xi与互为共轭复数，则（ ）A3i B3+2i C-2i D2i2.已知数列满足且，则（ ）A2012 B2013 C2014 D20153.设，则（ ）Acab Bcba Cabc Dba0.（1）若函数f(x)在x=-1处取得极值，试求函数f(x)的解析式及单调区间；（2）设为g(x)的导函数.若存在，使成立，求的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10
2、分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是O的直径，BC是O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD.（1）求证：CD是O的切线；（2）过点D作DEAB于点E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程文帝.（1）先把半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程；（2）已知直线，点P在半圆C上，且点P到直线的距离为半圆C上的点到直线的距离的最小值，根据（1）中得到的参数方程，确定点P的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知实数m
3、,n满足：关于x的不等式的解集为R.（1）求m，n的值；（2）若，且a+b+c=m-n，求证：.参考答案1.D ,故由共轭复数的概念可得解得则.2.B 因为，所以，所以数列是等比数列，因为，所以，所以，所以.3.B 设，由指数函数与的单调性知，ad，再由幂函数的单调性知，db，所以，又，所以.4.B 根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与x轴围成的图形的面积与曲线从到与x轴围成的图形的面积相等，所以阴影区域的面积.5.C 通过举反例易排除A，B，D，过直线a和直线b上一点A作平面，设，由，得，又a,b是异面直线，所以，易知，又，所以，故C正确.6.D 令，易知在其定义域上单调递减，要使在上单调递
4、减，则在上单调递增，且，即，所以，即.7.B 由程序框图可知，输出的，令，解得N=15.8.A 因为椭圆C的离心率为，则，故椭圆C的方程为，依题意，得，解得n=1，c=1，所以Q(2,0)，又双曲线的渐近线为，则点Q(2,0)到双曲线的一条渐近线的距离为.9.C 作出平面区域如图中阴影部分所示，表示点B(-1,0)到点M(x,y)的距离.由图可知，所求最小值即是点B到直线x+y-2=0的距离.10.B 等差数列中，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列，新的数列是以为首项，为公差的等差数列，.令，解得，数列的前24项都为正数，从第25项开始为负数，取得最大值时n的值是24.11.D 如图，
5、连接AB交函数f(x)的图象于另一点N，过点C作CHAB，垂足为H.则，其中AB为定值.当点C由A移动到M的过程中，CH逐渐变大，故逐渐变大，即0；当点C由M移动到N的过程中，CH逐渐变小，故逐渐变小，即0；当点C由P移动到B的过程中，CH逐渐变小，故逐渐变小，即0；当点P与点N重合时，构不成三角形，排除C，故选D.12.A ACB=90，BAC=30，BC=1，.底面ABC，三棱柱的体积，得，三棱柱的外接球半径，.13.由此推出.15.2 设点P的坐标为，抛物线的准线方程为x=-1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得，.16. 由题意可知，在区间上存在，使得，方
6、程在区间(0,a)上有两个不同的解，令。则解得，实数a的取值范围是.17.解：（1）由已知，由于c为最长边，A，B均为锐角，则sinA=cosB，即，故ABC为直角三角形.（2）由已知，结合正弦定理和余弦定理得，即，又，又，b=4.18.解：（1）设在本年内随机抽取一天，该天的经济损失S大于200元且不超过600元为事件A，由，得，由统计结果可知.（2）根据题中数据得到如下列联表：，所以有95%的把握认为该城市空气重度污染与供暖有关.19.（1）证明：连接，四边形为矩形，M为的中点，M是与的交点，即M为的中点.又N为的中点，又平面，平面，MN平面.（2）四边形为矩形，B、C在上，、在上，且，以
7、所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，点M、N分别为和的中点，.设平面的法向量为，则令x=1，得，即是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则令，得，即是平面的一个法向量，二面角为直二面角，解得，二面角为直二面角时，.20.解：（1）设圆，由题意知解得或又，圆C的标准方程为.（2）不存在直线使得直线OD与MC平行，下面给出证明.当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，又直线与圆C交于A，B两点，设，联立，消去y得，解得或，又四边形OADB为平行四边形，易知，假设，则，解得，又，假设不成立，即不存在直线使得直线OD与MC平行
8、.21.解：（1）函数f(x)的定义域为.，由题知即解得a=2,b=1，所以函数.此时，令得x-1或，令得-1x0或，所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）因为，所以，由，得+=0，整理得，存在，使成立.设，则，当时，此时在上单调递增，因此.因此存在，使成立，所以只要-a-b0即可，此时.当时，令u(x)=b，解得（舍去），（舍去），得，又，于是u(x)在上必有零点，即存在，使成立，此时.综上有的取值范围为.22.证明：（1）连接OD，OCAD，1=ADO，2=DAO.OA=OD，ADO=DAO，1=2,OC=OC，OB=OD，ODC=OBC.OB是O的半径，BC是O的切线，
9、BCOB，OBC=90，ODC=90，CDOD.又OD是O的半径，CD是O的切线.（2）过点A作O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FAAB.DEAB，由（1）知CBAB，FADECB，.在FAC中，DPFA，.FA，FD是O的切线，FA=FD，.在ABC中，EPBC，.CD,CB是O的切线，CB=CD，DP=EP.点P平分线段DE.23.解：（1）由得，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即得半圆C的直角坐标方程为.所以半圆C的参数方程为.（2）作直线的平行线，当直线与半圆C相切时，切点即为P，由（1）知半圆C的圆心为C(0,2)，则CP，因此，解得，所以点.24.解：（1）由于解集为R，那么x=3,x=-1都满足不等式，即有即解得m=-2，n=-3，经验证当m=-2,n=-3时，不等式的解集是R.（2），故（当且仅当时取等号）.
