1、2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 =（）ABCiDi2用数学归纳法证明1+n（nN*，n1），第一步应验证不等式（）A1+2B1+3C1+3D1+23有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确4若P=，Q=（a0），则P，Q的大小
2、关系为（）APQBP=QCPQD由a的取值确定52015年6月20日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）ABCD6已知随机变量=8，若B（10，0.6），则E，D分别是（）A6和2.4B2和5.6C6和5.6D2和2.47设（2x）5=a0+a1x+a2x2+a5x5，那么的值为（）ABCD18将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A240B300C150D1809（x+2）5展开式中
3、常数项为（）A252B252C160D16010已知随机变量X服从正态分布N（，2），且P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，若=4，=1，则P（5X6）=（）A0.1358B0.1359C0.2716D0.271811设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于212下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，cR则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（）=（）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若”；（3）“在平面内，三角形的两边之和
4、大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”上述四个推理中，结论正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13设随机变量服从正态分布N（0，1），P（1）=，则P（11）=14在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是15一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=16凸函
5、数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f（），已知函数y=sinx在区间（0，）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（ I）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，求复数z（ II）实数m取何值时，复数z=m21+（m23m+2）i，（ i）是实数；（ ii）是纯虚数18有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）（1）共有多少种不同的分配方案？（2）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配
6、方案？（3）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？（4）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？19观察以下5个等式：1=11+3=21+35=31+35+7=41+35+79=5照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（nN*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（nN*）20二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0x10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： =， =y）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=
7、0.01x30.09x21.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价收购价）21某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：赞同反对合计男5611女11314合计16925（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）进一步调查：（）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望附表：P（K2K
8、）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：02 345 p0.03 0.240.010.480.24（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3
9、分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 =（）ABCiDi【考点】A7：复数代数形式的混合运算【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：故选A2用数学归纳法证明1+n（nN*，n1），第一步应验证不等式（）A1+2B1+3C1+3D1+2【考点】RG：数学归纳法【分析】利用n=2写出不等式的形式，就是第一步应验证不等式【解答】解：当n=2时，左侧=1+，右侧=
10、2，左侧右侧用数学归纳法证明1+n（nN*，n1），第一步应验证不等式1+2，故选：D3有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【考点】F6：演绎推理的基本方法【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）
11、的极值点”，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A4若P=，Q=（a0），则P，Q的大小关系为（）APQBP=QCPQD由a的取值确定【考点】72：不等式比较大小【分析】平方作差即可比较出大小【解答】解：a0，a2+7a+12a2+7a+10Q2P2=（）=0PQ故选：C52015年6月20日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三
12、个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）ABCD【考点】CM：条件概率与独立事件【分析】求出P（A）=，P（AB）=，利用P（B|A）=，可得结论【解答】解：由题意，P（A）=，P（AB）=，P（B|A）=，故选：A6已知随机变量=8，若B（10，0.6），则E，D分别是（）A6和2.4B2和5.6C6和5.6D2和2.4【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据变量B（10，0.6）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量=8，知道变量也符合二项分布，故可得结论【解答】解：B（10，0.6），E
13、=100.6=6，D=100.60.4=2.4，=8，E=E（8）=2，D=D（8）=2.4故选：D7设（2x）5=a0+a1x+a2x2+a5x5，那么的值为（）ABCD1【考点】DA：二项式定理【分析】令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=1可得 a0a1+a2a3+a4a5=35解得 a0+a2+a4 和 a1+a3+a5 的值，结合a5=1，即可求得要求式子的值【解答】解：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=1可得 a0a1+a2a3+a4a5=35两式相加除以2求得 a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得 a1+a3+a5=
14、121结合a5=1，故=，故选：B8将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A240B300C150D180【考点】D3：计数原理的应用【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53A33种分法，分成2、2、1时，有A33种分法，所以共有C53A33+A33=150种方案，故选：C9（x+2）5展开式中常数项为（）A252B252C160D1
15、60【考点】DC：二项式定理的应用【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项【解答】解：（x+2）5 的展开式的通项公式为Tr+1=（2）r，0r5，对于，它的通项为x5r2k，令5r2k=0，求得r+2k=5，0k5r，故当r=1，k=2； 或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为（2）+（8）+（2）5=6016032=252，故答案为：B10已知随机变量X服从正态分布N（，2），且P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，若=4，=1，则P（5X6）=（）A0.1358B0.1359C0.2716D0.
16、2718【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据变量符合正态分布，和所给的和的值，根据3原则，得到P（2X6）=0.9544，P（3X5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（，2），P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，=4，=1，P（2X6）=0.9544，P（3X5）=0.6826，P（2X6P（3X5）=0.95440.6826=0.2718，P（5X6）=0.1359故选B11设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2【考点
17、】R9：反证法与放缩法【分析】把这三个数的和变形为a+b+c+，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于6，从而得到这三个数中，至少有一个不小于2【解答】解：a，b，c都是正数，故这三个数的和 （a+）+（b+）+（c+ ）=a+b+c+2+2+2=6当且仅当 a=b=c=1时，等号成立故三个数a+，b+，c+中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6）故选D12下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，cR则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（）=（）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若”；（3）“在平面内，三角形
18、的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”上述四个推理中，结论正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点】F3：类比推理【分析】逐个验证：（1）向量要考虑方向（2）数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，（3，4）由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由圆的性质类比推理到球的性质【解答】（1）由向量的
19、运算可知为与向量共线的向量，而由向量的运算可知与向量共线的向量，方向不同，故错误（2）在复数集C中，若z1，z2C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i故错误；（3）平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确（4）由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确故选：B二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13设随机变量服从正态分布N（0，1），P（1）=，则P（11）=【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（1）
20、=，得到P（10），再根据对称性写出要求概率【解答】解：随机变量服从标准正态分布N（0，1），正态曲线关于x=0对称，P（1）=，P（10）=，P（11）=，故答案为：14在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：三天都预报准确；第一二天预报准确，第三天预报不准确；第一天预报不准确，第二三天预报准确由此能求出在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：三天都预报准确；第一二天预报准确，第三天预报不准确；第一天预报
21、不准确，第二三天预报准确在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是p=0.83+0.820.2+0.20.82=0.768在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768故答案为：0.76815一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=2【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望E（X）【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=
22、3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 PE（X）=2故答案为：216凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f（），已知函数y=sinx在区间（0，）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为【考点】3H：函数的最值及其几何意义【分析】已知f（x）=sinx在区间（0，）上是凸函数，利用凸函数的性质可得：sin，变形得 sinA+sinB+sinC3sin问题得到解决【解答】解：f（x）=sinx在区间（0，）上是凸函数，且A、B、C（0，），f（）=f（），即sinA+sinB+sinC3sin=，所以sin
23、A+sinB+sinC的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（ I）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，求复数z（ II）实数m取何值时，复数z=m21+（m23m+2）i，（ i）是实数；（ ii）是纯虚数【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】（I）利用复数的运算法则即可得出（ II）（i）当z为实数时，m23m+2=0，解得m（ii）当z为纯虚数时，解得m【解答】解：（ I）（1+i）z=2，（1i）（1+i）z=2（1i），2z=2（1i），即z=1i（ II）（i）当z为实数时，m23m+2=0，解得m=1或m=
24、2（ii）当z为纯虚数时，解得m=118有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）（1）共有多少种不同的分配方案？（2）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？（3）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？（4）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】（1）每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得结论；（2）先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有=36种，根据乘法原理，可得结论；（3）先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它
25、两个人安排到其余3个学校，根据乘法原理，可得结论；（4）先选出2个学校，有=6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，即可得出结论【解答】解：（1）每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得共有44=256种不同的分配方案；（2）先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有=36种，故共有436=144种（3）先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它两个人安排到其余3个学校，故共有；（4）先选出2个学校，有=6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，有（+）=84种19观察以下5个等式：1=11+3=21+35=31+35+7=41
26、+35+79=5照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（nN*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（nN*）【考点】F1：归纳推理【分析】（1）由已知中1=1，1+3=2，1+35=3，1+35+7=4，1+35+79=5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，知1+35+79+（1）n（2n1）=（1）nn成立【解答】解：（1）由已知中：1=11+3=21+35=31+35+7=41+35+79=5归纳可得：第6个
27、等式为1+35+79+11=6 第n个等式为1+35+79+（1）n（2n1）=（1）nn（2）下面用数学归纳法给予证明：1+35+79+（1）n （2n1）=（1）nn当n=1时，由已知得原式成立； 假设当n=k时，原式成立，即1+35+79+（1）k （2k1）=（1）kk那么，当n=k+1时，1+35+79+（1）k （2k1）+（1）k+1 （2k+1）=（1）kk+（1）k+1 （2k+1）=（1）k+1（k+2k+1）=（1）k+1 （k+1）故n=k+1时，原式也成立，由知1+35+79+（1）n（2n1）=（1）nn成立20二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数
28、x（0x10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： =， =y）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x30.09x21.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价收购价）【考点】BK：线性回归方程【分析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=yw，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值【解答】解：（1）由已知：，所求线性回归直线方程为（2）L（x
29、）=yw=1.45x+18.7（0.01x30.09x21.45x+17.2）=0.01x3+0.09x2+1.5（0x10）L（x）=0.03x2+0.18x=0.03x（x6）x（0，6）时，L（x）0，L（x）单调递增，x（6，10时，L（x）0，L（x）单调递减所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大21某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：赞同反对合计男5611女11314合计16925（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）进一步调查：（）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进
30、行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望附表：P（K2K）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】BO：独立性检验的应用；C7：等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由题设知K2=2.9322.706，由此得到结果（2）（i）记题设事件为A，利用组合数公式得P（A）=，由此能求出事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率（ii）根据题意，X服从超几何分布，
31、P（X=k）=，k=0，1，2，3由此能求出X的分布列和期望【解答】解：（1）K2=2.9322.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（2）（）记题设事件为A，则所求概率为P（A）= （）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3X的分布列为X0123PX的期望E（X）=0+1+2+3=1 22在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用
32、表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：02 345 p0.03 0.240.010.480.24（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算
33、出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较【解答】解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（）=0.75，P（B）=q2，P（）=1q2根据分布列知：=0时P（）=P（）P（）P（）=0.75（1q2）2=0.03，所以1q2=0.2，q2=0.8；（2）当=2时，P1=P=（B+B）=P（B）+P（B）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B）=0.75q2（1q2）2=1.5q2（1q2）=0.24当=3时，P2=P（A）=P（A）P（）P（）=0.25（1q2）2=0.01，当=4时，P3=P（BB）P（）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，当=5时，P4=P（AB+AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1q2）+0.25q2=0.24随机变量的数学期望E=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63；（3）该同学选择都在B处投篮得分超过的概率为P（BB+BB+BB）=P（BB）+P（BB）+P（BB）=2（1q2）q22+q22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大2017年5月26日
