1、单元检测（三） 数 列(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知等差数列an中,a2+a88,则该数列前9项和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.45解析:在等差数列an中,a2+a88,a1+a98,则该数列前9项和,选C.答案:C2.在a和b(ab)两数之间插入n个数,使它们与a、b组成等差数列,则该数列的公差为( )A. B. C. D.解析:(特殊值法)令n1,则ba+2d,排除A、C、D,选B.答案:B3.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数
2、为( )A.12 B.10 C.8 D.6解析:a2+a4+a2n2(a1+a3+a2n-1)q2,又an+an+12n-1+2n24,n4.此数列的项数为2n8.答案:C4.(理)等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是( )A.S7 B.S8 C.S13 D.S15解析:由题意,知a2+a8+a113a1+18d3(a1+6d)3a7为定值,因此也为定值.答案:C(文)数列an是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列bn中的相邻三项,若b25,则bn等于( )A.5()n-1 B.5()n-1 C.
3、3()n-1 D.3()n-1解析:设公差为d,公比为q,则(a1+7d)2(a1+4d)(a1+12d),而d0,d2a1,an(2n-1)a1.又a5,a8,a13是等比数列bn中的相邻三项,bnb2()n-25()n-23()n-1.答案:D5.(理)在等差数列an中,若(mn),则Sm+n的值( )A.大于4 B.等于4 C.小于4 D.无法确定解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,则即.答案:A(文)已知等差数列an中,a26,a515.若bna2n,则数列bn的前5项和等于( )A.30 B.45 C.90 D.186解析:由题设知a5a2+3d,d3,an3n.bna2n6
4、n.b1+b2+b3+b4+b5.选C.答案:C6.已知等差数列an的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S2 008等于( )A.1 004 B.1 005 C.2 008 D.2 009解析:由A、B、C三点共线,知a1 004+a1 0051,所以.答案:A7.(理)北京市为成功举办2008年奥运会,决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.141.46,1.151.61)( )A.10% B.16.4% C.16.8% D.20%解析:设2003年底
5、更新车辆数为x,则现有车辆数为x(1+1.1+1.12+1.13+1.14),16.4%.答案:B(文)已知数列an对任意的p,qN*满足ap+qap+aq,且a2-6,那么a10等于( )A.-165 B.-33 C.-30 D.-21解析:依题意,a2a1+a12a1,a1a2-3,an+1an+a1an-3,可知数列an是等差数列,a10a1+9d-3-93-30.选C.答案:C8.设函数f(x)(x-1)2+n(x-1,3,nN*)的最小值为an,最大值为bn,记cnbn2-anbn,则数列cn( )A.是公差不为零的等差数列B.是公比不为1的等比数列C.是常数数列D.不是等差数列也不
6、是等比数列解析:由题意,得ann,bnf(-1)f(3)4+n,cn(4+n)2-n(4+n)(4+n)(4+n-n)4n+20+(n-1)4,即cn是以20为首项,4为公差的等差数列.故选A.答案:A9.已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn,且,则使得为整数的正整数n的个数是( )A.5 B.4 C.3 D.2解析:由等差数列性质知.当n取1、2、3、5、11时符合条件.选A.答案:A10.若钝角ABC三内角A、B、C的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比为m,则m的取值范围是( )A.(2,+) B.(0,2) C.1,2 D.2,+)解析:设三角形的三边从小到大依次为
7、a,b,c,因为三内角的度数成等差数列,故可得B60.于是b2a2+c2-ac,又因为ABC为钝角三角形,故a2+b2-c20,于是2a2-ac0,.答案:A11.如果数列an满足:首项a11,那么下列说法中正确的是( )A.该数列的奇数项a1,a3,a5,成等比数列,偶数项a2,a4,a6,成等差数列B.该数列的奇数项a1,a3,a5,成等差数列,偶数项a2,a4,a6,成等比数列C.该数列的奇数项a1,a3,a5,分别加4后构成一个公比为2的等比数列D.该数列的偶数项a2,a4,a6,分别加4后构成一个公比为2的等比数列解析:a11,a22,a34,a48,a510,a620,则a2+46
8、,a4+412,a6+424,a2n+42a2n-1+42a2n-2+82(a2n-2+4),所以该数列的偶数项a2,a4,a6,分别加4后构成一个公比为2的等比数列,选择D.答案:D12.(理)设函数(xR,且,xN*)的最小值为an,最大值为bn.若cn(1-an)(1-bn),则数列cn( )A.是公差不等于零的等差数列B.是公比不等于1的等比数列C.是常数列D.不是等差数列也不是等比数列解析:由得(y-1)x2+(y+1)x+(y-n)0,由(y+1)2-4(y-1)(y-n)0,an、bn是关于y的方程3y2-(4n+6)y+(4n-1)0的两根.答案:C(文)设a1,a2,a50是
9、从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+a509,且(a1+1)2+(a2+1)2+(a50+1)2107,则a1,a2,a50中是0的个数为( )A.10 B.11 C.12 D.13解析:设数列中有a个-1,b个0,c个1,则根据题意可得出化简得解得b50-a-c11,即有11个0.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.等差数列an中,Sn是它的前n项和,S6S7,S7S8,则数列公差d0,S9S6,a7最大,S7是Sn中的最大值.其中正确的是_.解析:由题意,知d0,-6da1-7d,a10.数列为递减数列,a1最大,前7项为正,以后各项为负,S7最
10、大,S9-S6a7+a8+a93a1+21d3(a1+7d)0.S9S6.答案:14.在数列an中,已知且a11,则an_.解析:,.答案:15.一凸多边形各内角的度数成等差数列,公差是10,最小内角是100,则边数n_.解析:由多边形的内角和(n-2)180n100+10n2-17n+720n8或9.根据凸n边形各内角的度数小于180,n9舍去,边数n8.答案:816.自然数列按如下所示规律排列,若数2 008是第m行第n个数,则_.解析:,且.故数2 008是第63行第55个数, .答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)等差数列an的前n项和记为Sn,已知a
11、1030,a2050.(1)求通项an;(2)若Sn242,求n.解:(1)由ana1+(n-1)d,a1030,a2050,得解得an2n+10.(2)由,Sn242,.解得n11或n-22(舍去).n11.18.(本小题满分12分)(理)(2009安徽安庆第一学期高三质检,理19）已知数列an的前n项和为Sn,且对任意nN*，有n,an,Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列nan的前n项和Tn.解:(1)依题意,知Sn2an-n,Sn+12an+1-(n+1)an+12an+1-2an-1an+12an+1an+1+12(an+1),又由S1a12a1-1a11,故an
12、+1是首项为2,公比为2的等比数列,an+12nan2n-1.(2)Tn(121-1)+(222-2)+(n2n-n)(12+222+n2n)-(1+2+n),由错位相减法,得12+222+n2n(n-1)2n+1+2,又1+2+n,所以Tn(n-1)2n+1+2-.(文)一数列an的奇数项构成公差为-2的等差数列,偶数项构成公比为2的等比数列,又a110,a22,求:(1)数列an的通项an;(2)求|a1|+|a2|+|a3|+|a22|之和.解:(1)当n为奇数时,an11-n;当n为偶数时,.所以(2)|a1|+|a2|+|a3|+|a22|(|a1|+|a3|+|a21|)+(|a2
13、|+|a4|+|a22|).19.(本小题满分12分)已知数列an中,a12,a23,其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-12Sn+1(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn4n+(-1)n-1(为非零整数,nN*),试确定的值,使得对任意nN*,都有bn+1bn成立.解:(1)由已知,得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)1(n2,nN*),即an+1-an1(n2,nN*),且a2-a11,数列an是以a12为首项,公差为1的等差数列.ann+1.(2)ann+1,bn4n+(-1)n-12n+1,要使bn+1bn恒成立.bn+1-bn4n+1-4n+(-1)n2n+2-
14、(-1)n-12n+10恒成立,即34n-3(-1)n-12n+10恒成立.(-1)n-12n-1恒成立.当n为奇数时,即2n-1恒成立,当且仅当n1时,2n-1有最小值为1,1.当n为偶数时,即-2n-1恒成立,当且仅当n2时,-2n-1有最大值-2,-2,即-21.又为非零整数,则-1.综上所述,存在-1,使得对任意nN*,都有bn+1bn.20.(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,已知a11且满足3Sn2an(3Sn-1),n2.(1)求证:是等差数列;(2)设,数列bn的前n项和为Tn,求Tn.(1)证明:当n2时,3Sn2an(3Sn-1),anSn-Sn-1.3Sn2(
15、Sn-Sn-1)(3Sn-1).整理得,.因此数列是等差数列.(2)解:,.21.(本小题满分12分)(理)已知数列an中,a15,an2an-1+2n-1(nN*,且n2).(1)若数列为等差数列,求实数的值;(2)求数列an的前n项和Sn.解:(1)因为an2an-1+2n-1(nN*且n2),所以.显然,当且仅当,即-1时,数列为等差数列.(2)由(1)的结论知,数列是首项为,公差为1的等差数列,故有2+(n-1)1n+1,即an(n+1)2n+1(nN*).因此,有Sn22+322+423+(n+1)2n+n,2Sn222+323+424+(n+1)2n+1+2n,两式相减,得-Sn4
16、+(22+23+2n)-(n+1)2n+1-n,整理,得Snn(2n+1+1)(nN*).(文)已知数列an中,a15,an2an-1+2n-1(nN*且n2).(1)求a2、a3的值.(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,有a22a1+22-110+4-113,a32a2+23-126+8-133.(2)因为an2an-1+2n-1(nN*且n2),所以.显然,当且仅当,即-1时,数列为等差数列.22.(本小题满分12分)(理)(2009北京东城高三第一学期期末检测,理20）已知点B1(1,y1),B2(2,y2),Bn(n,yn)
17、,(nN*)顺次为直线上的点，点A1（x1,0),A2(x2,0),An(xn,0),(nN*)顺次为x轴上的点，其中x1a(0a1),对任意的nN*,点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.(1)证明数列yn是等差数列;(2)求证:对任意的nN*，xn+2-xn是常数，并求数列xn的通项公式；（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由.(1)证明:依题意有,于是yn+1-yn.所以数列yn是等差数列.(2)证明:由题意得,即xn+xn+12n(nN*）,所以有xn+2+xn+12(n+1).由-,得xn+2-xn2,可
18、知x1,x3,x5,;x2,x4,x6,都是等差数列，那么得x2k-1x1+2(k-1)2k+a-2,x2kx2+2(k-1)2-a+2(k-1)2k-a(kN*).故(3)解:当n为奇数时,An(n+a-1,0),An+1(n+1-a,0),所以|AnAn+1|2(1-a);当n为偶数时,An(n-a,0),An+1(n+a,0),所以|AnAn+1|2a;作BnCnx轴,垂足为Cn,则,要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形,必须且只需|AnAn+1|2|BnCn|.当n为奇数时,有2(1-a)2(),即12a11-3n.当n1时,;当n3时,;当n5时,式无解.当n为偶数时,有12a
19、3n+1.同理可求得.综上所述,上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形,此时a的值为或或.(文)已知数列an的前n项和为Sn(nN*).设m(1,an),n(2,n+Sn),且m与n平行.(1)证明an+1是等比数列;(2)求an与Sn的通项公式.解:(1)证明:由m与n平行,得1(n+Sn)-2an0,即Sn-2an+n0.S1-2a1+10.a11.又Sn-1-2an-1+(n-1)0(n2且nN*),将相减得Sn-Sn-1-2an+2an-1+10.an2an-1+1.an+12(an-1+1).又a11,an1(n2且nN*).(n2且nN*).an+1是等比数列.(2)由(1)得an+122n-1,即an2n-1.Sn(21-1)+(22-1)+(2n-1)(2+22+2n)-n2n+1-n-2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
