1、2015-2016学年福建省漳州市芗城中学高二（下）月考数学试卷 （理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1设复数z满足（1i）z=1+i，则|z|=（）A0B1CD22复数z满足z（1i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A12种B10种C9种D8种4（ex+2x）dx等于（）A1Be1CeDe2+15设随机变量a服从正态分布N（u，9），若p（3）=p（1），则u=（）A2B3C9D16设随
2、机变量X服从，则P（X=3）的值是（）ABCD7抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（）ABCD8极坐标方程=cos和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A圆、直线B直线、圆C圆、圆D直线、直线9设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D10设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为（）A2B4CD11设aZ，且0a13，若512012+a能被13整除，则a=（）A0B1C11D1
3、212已知aR，函数f（x）=x3ax2+ax+2的导函数f（x）在（，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（）Ag（x）在（1，+）上有最大值Bg（x）在（1，+）上有最小值Cg（x）在（1，+）上为减函数Dg（x）在（1，+）上为增函数二、填空题（本大题共4小题，共20分）13若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有14（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是15函数y=3x22lnx的单调增区间为16在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与
4、坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线三、解答题（本大题共6小题，共70分）17设函数f（x）=|x4|+|x3|，（）求f（x）的最小值m（）当a+2b+3c=m（a，b，cR）时，求a2+b2+c2的最小值18在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系（）写出C1的极坐标方程；（）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线=（0
5、）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|19已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值20为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）（）（i）请根据图示，将22列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取
6、3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率附：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=21某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：员工编号12345678910年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式：，
7、其中、表示样本均值22已知函数f（x）=axlnx4（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）当a=2时，若存在区间，使f（x）在m，n上的值域是，求k的取值范围2015-2016学年福建省漳州市芗城中学高二（下）月考数学试卷 （理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1设复数z满足（1i）z=1+i，则|z|=（）A0B1CD2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【分析】由题意可得 z=，再由|z|= 求出结果【解答】解：复数z满足（1i）z=1+i，z=，|z|=1，故选B2复数z满足z（1i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第
8、二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：z（1i）=|1+i|，z（1i）（1+i）=（1+i），z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限故选：D3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A12种B10种C9种D8种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=
9、2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有261=12种故选 A4（ex+2x）dx等于（）A1Be1CeDe2+1【考点】定积分【分析】求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差【解答】解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+11=e故选C5设随机变量a服从正态分布N（u，9），若p（3）=p（1），则u=（）A2B3C9D1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据p（3）=p（1），由正态曲线的对称性得u=2【解答】解：随机变量服从正态分布N（u，9），p（3）=p（1），u
10、=2故选：A6设随机变量X服从，则P（X=3）的值是（）ABCD【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值【解答】解：随机变量X服从，P（X=3）=故选B7抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率【解答】解：由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的
11、概率抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4，基本事件有26=12个，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有2个，P（B|A）=故选C8极坐标方程=cos和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A圆、直线B直线、圆C圆、圆D直线、直线【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】极坐标方程=cos 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论【解答】解：极坐标方程=cos 即 2=cos，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即 ，表示一个圆参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，
12、表示一条直线，故选A9设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D【考点】基本不等式；等比数列的性质【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a3b=3，所以a+b=1，当且仅当即时“=”成立，故选择B10设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为（）A2B4CD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率，即求f（1），先求出f（x），然后根据
13、曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1求出g（1），从而得到f（x）的解析式，即可求出所求【解答】解：对函数f（x）=g（x）+x2，两边求导，可得f（x）=g（x）+2xy=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，g（1）=2，f（1）=g（1）+21=2+2=4，y=f（x）在点（1，f（1）处切线斜率为4故选：B11设aZ，且0a13，若512012+a能被13整除，则a=（）A0B1C11D12【考点】二项式定理的应用【分析】由二项式定理可知512012+a=（521）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要
14、a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：512012+a=（521）2012+a=+a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且aZ，0a13则可得a+1=13a=12故选D12已知aR，函数f（x）=x3ax2+ax+2的导函数f（x）在（，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（）Ag（x）在（1，+）上有最大值Bg（x）在（1，+）上有最小值Cg（x）在（1，+）上为减函数Dg（x）在（1，+）上为增函数【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值【解答】解：函数f（x
15、）=x3ax2+ax+2的导函数f（x）=x22ax+a对称轴为：x=a，导函数f（x）在（，1）内有最小值，令x22ax+a=0，可得方程在（，1）有两个根，可得，解得：a0函数g（x）=x+2ag（x）=1，x（1，+），1，g（x）0，g（x）在在（1，+）上为增函数故选：D二、填空题（本大题共4小题，共20分）13若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有66【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况
16、的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有C44=1种结果，当取得4个奇数时，有C54=5种结果，当取得2奇2偶时有C42C52=610=60种结果，共有1+5+60=66种结果，故答案为：66种14（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是180【考点】二项式系数的性质【分析】由（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n=10再利用通项公式即可得出【解答】解：（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，n=10的通项公式为：Tr+1=2r，令=0，解得r
17、=2展开式的常数项=180故答案为：18015函数y=3x22lnx的单调增区间为（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数大于0即可【解答】解：函数y=3x22lnx的定义域为（0，+），求函数y=3x22lnx的导数，得，y=6x，令y0，令y0，解得x0（舍）或x，函数y=3x22lnx的单调增区间为（，+）故答案为：（，+）16在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如
18、果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【考点】命题的真假判断与应用【分析】举例说明命题是真命题；举反例说明命题是假命题；假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到命题为真命题；当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=，说明是假命题【解答】解：令y=x+，既不与坐标轴平行又
19、不经过任何整点，命题正确；若k=，b=，则直线y=x+经过（1，0），命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1y2=k（x1x2），则（x1x2，y1y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则正确；当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=，故不正确；令直线y=x恰经过整点（0，0），命题正确综上，命题正确的序号有：故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17设函数f（x）=|x4|+|x3|，（）求f（x）的最小
20、值m（）当a+2b+3c=m（a，b，cR）时，求a2+b2+c2的最小值【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）法1：f（x）=|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，可得函数f（x）的最小值；法2：写出分段函数，可得函数f（x）的最小值；（）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）（a+2b+3c）2=1【解答】解：（）法1：f（x）=|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，故函数f（x）的最小值为1m=1法2：x4时，f（x）1；x3时，f（x）1，3x4时，f（x）=1，故函数f（x）的最小值为1m=1（）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22
21、+32）（a+2b+3c）2=1故a2+b2+c2当且仅当时取等号18在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系（）写出C1的极坐标方程；（）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线=（0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程【分析】（）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长【解答】解：（）将（为参数）消去参数，化为普通方程为（x2）2+y2=4，即C1：x2+y2
22、4x=0，将代入C1：x2+y24x=0，得2=4cos，所以C1的极坐标方程为=4cos（）将代入C2得x2+y2=1，所以C3的方程为x2+y2=1C3的极坐标方程为=1，所以|OB=1|又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|OB|=119已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由已知得f（x）=3x2+6x+9，由此能求出f（x）的单调区间（2）由f（x）=3x2+6x+9=0，得x=1或x=3（舍），由此利
23、用已知条件能求出它在区间2，2上的最小值【解答】解：（1）f（x）=x3+3x2+9x+a，f（x）=3x2+6x+9，由f（x）0，得1x3，f（x）的单调递增区间为（1，3）；由f（x）0，得x1或x3，f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（2）由f（x）=3x2+6x+9=0，得x=1或x=3（舍），f（2）=8+1218+a=2+a，f（1）=1+39+a=a5，f（2）=8+12+18+a=22+a，f（x）在区间2，2上的最大值为20，22+a=20，解得a=2它在该区间上的最小值为a5=720为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名
24、男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）（）（i）请根据图示，将22列联表补充完整；优分非优分总计男生92130女生11920总计203050（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率附：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验【分析】（）根据图示，将22列联表补充完整，
25、计算观测值k，对照数表得出概率结论；（）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值【解答】解：（）根据图示，将22列联表补充完整如下：优分非优分总计男生92130女生11920总计203050假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k=3.125，因为3.1252.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f=0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=0.420.6
26、+0.43=0.35221某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：员工编号12345678910年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式：，其中、表示样本均值【考点】线性回归方程【分析】（1）根据表格数据计算；（2）适用组合数公式计算P（）；（3）求出线性回归方程，根据回
27、归方程预测【解答】解：（1）平均值为10万元，中位数为6万元（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；的取值为0，1，2P（=0）=，所以的分布列为012P数学期望为（3）设xi，yi（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，=2.25+0.25+0.25+2.25=5，=1.4， =51.42.5=1.5员工年薪与工作年限的线性回归方程为=1.4x+1.5当x=5时， =1.45+1.5=8.5该员工第5年的年薪收入约为8.5万元22已知函数f（x）=axlnx4（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）当a=2时，若存在区间，使f（x）在m，n上的值域是，求k的取值范围【
28、考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，分类讨论，利用导数的正负讨论f（x）的单调性；（）得出，其中，则在上至少有两个不同的实数根，构造函数，即可求k的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），当a0时，f（x）0，所以f（x）在（0，+）上为减函数，当a0时，令f（x）=0，则，当时，f（x）0，f（x）为减函数，当时，f（x）0，f（x）为增函数，当a0时，f（x）在（0，+）上为减函数；当a0时，f（x）在上为减函数，在上为增函数（）当a=2时，f（x）=2xlnx4，由（）知：f（x）在上为增函数，而，f（x）在m，n上为增函数，结合f（x）在m，n上的值域是知：，其中，则在上至少有两个不同的实数根，由得k=2x22x（x+1）lnx4，记（x）=2x22x（x+1）lnx4，则，记，则，F（x）在上为增函数，即（x）在上为增函数，而（1）=0，当时，（x）0，当x（1，+）时，（x）0，（x）在上为减函数，在（1，+）上为增函数，而，（1）=4，当x+时，（x）+，故得：，k的取值范围是2016年11月14日
