1、基础达标对于向量a,b,c和实数,下列命题中真命题是_(填序号)若ab0,则a0或b0;若a0,则0或a0;若a2b2,则ab或ab;若abac,则bc.解析:中若ab,则有ab0,不一定有a0或b0.中当|a|b|时,a2b2,此时不一定有ab或ab.中当a0时,abac,不一定有bc.答案:已知向量a,b满足条件:|a|2,|b|,且a与2ba互相垂直,则a与b的夹角为_解析:因为a与2ba互相垂直,所以a(2ba)0.即2aba20.所以2|a|b|cosa,b|a|20,所以cosa,b,所以a与b的夹角为45.答案:45已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a3b|_解析:
2、|a3b|2(a3b)2a26ab9b213.答案:已知单位向量e1,e2的夹角为60,则|2e1e2|_解析:|2e1e2|24e4e1e2e4411cos 6013,|2e1e2|.答案:若向量a与b不共线,ab0,且ca()b,则向量a与c的夹角为_解析:acaa()baa()baaaaa0,ac.答案:90已知空间向量a、b、c满足abc0,|a|3,|b|1,|c|4,则abbcca的值为_解析:abc0,(abc)20,a2b2c22(abbcca)0,abbcca13.答案:13已知a(x,2,0),b(3,2x,x2),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是_解析:cosa,b
3、,夹角为钝角,cosa,b0,且a,b不共线,3x2(2x)0,x4.答案:x4设a,b,c是单位向量,且ab0,则(ac)(bc)的最小值为_解析:ab0,且a,b,c均为单位向量,|ab|,|c|1,(ac)(bc)ab(ab)cc2.设ab与c的夹角为,则(ac)(bc)1|ab|c|cos 1cos .故(ac)(bc)的最小值为1.答案:1如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点,计算:(1);(2).解:(1)|cos,11cos 60.(2)|cos,11cos 120.已知如图所示的空间四边形OABC中,AOBBOCAOC,且O
4、AOBOC.M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点求证:OGBC.证明:由线段中点公式得:()()(),又,()()(|2|2)(|2|2),|cosAOC,|cosAOB,且|,AOBAOC,0,即OGBC.能力提升已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(ac)(bc)0,则|c|的最大值是_解析:法一:由已知,|a|b|1,ab0,由此可知|ab|.将(ac)(bc)0展开得abaccbc20.设ab与c的夹角为,则|c|2(ab)c|ab|c|cos ,即|c|cos .故当cos 1时,|c|取最大值.法二:因为(ac)(bc)0,所以ac与bc互相垂直又因为ab
5、,所以a,b,ac,bc构成的四边形是圆内接四边形,c是此四边形的一条对角线当c是直径时,|c|达到最大值,此时圆内接四边形是以a,b为邻边的正方形,所以|c|的最大值为.法三:因为a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,所以可以以a,b为基底建立直角坐标系,a(1,0),b(0,1),设c(x,y),则ac(1x,y),bc(x,1y)由(ac)(bc)0得(1x)(x)y(1y)0,所以x2y2xy,从而,当且仅当xy1时取等号又|c|,故|c|的最大值为.答案:在ABC中,已知(2,4,0),(1,3,0),则ABC_解析:(2,4,0),(1,3,0),212010,| 2,|.cos,
6、.ABC135.答案:135如图,已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量与的夹角的余弦值解:设正方体的棱长为m,a,b,c,则|a|b|c|m,abbcac0,又ab,ca,(ab)(ca)m2,又|A1C1|m,|,cos,.(创新题)已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)(1)求以,为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|,且a与,均垂直,求向量a的坐标解:(1)由题意,可得:(2,1,3),(1,3,2),cos,.sin,.所以,以,为邻边的平行四边形的面积为S|sin,147.(2)设a(x,y,z)由题意,得解得或a(1,1,1)或a(1,1,1)