1、基础达标对于向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是_(填序号)若ab0，则a0或b0；若a0，则0或a0；若a2b2，则ab或ab；若abac，则bc.解析：中若ab，则有ab0，不一定有a0或b0.中当|a|b|时，a2b2，此时不一定有ab或ab.中当a0时，abac，不一定有bc.答案：已知向量a，b满足条件：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_解析：因为a与2ba互相垂直，所以a(2ba)0.即2aba20.所以2|a|b|cosa，b|a|20，所以cosa，b，所以a与b的夹角为45.答案：45已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_解析：
2、|a3b|2(a3b)2a26ab9b213.答案：已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_解析：|2e1e2|24e4e1e2e4411cos 6013，|2e1e2|.答案：若向量a与b不共线，ab0，且ca()b，则向量a与c的夹角为_解析：acaa()baa()baaaaa0，ac.答案：90已知空间向量a、b、c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_解析：abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.答案：13已知a(x，2，0)，b(3，2x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_解析：cosa，b
3、，夹角为钝角，cosa，b0，且a，b不共线，3x2(2x)0，x4.答案：x4设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为_解析：ab0，且a，b，c均为单位向量，|ab|，|c|1，(ac)(bc)ab(ab)cc2.设ab与c的夹角为，则(ac)(bc)1|ab|c|cos 1cos .故(ac)(bc)的最小值为1.答案：1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算：(1)；(2).解：(1)|cos，11cos 60.(2)|cos，11cos 120.已知如图所示的空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且O
4、AOBOC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.证明：由线段中点公式得：()()()，又，()()(|2|2)(|2|2)，|cosAOC，|cosAOB，且|，AOBAOC，0，即OGBC.能力提升已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_解析：法一：由已知，|a|b|1，ab0，由此可知|ab|.将(ac)(bc)0展开得abaccbc20.设ab与c的夹角为，则|c|2(ab)c|ab|c|cos ，即|c|cos .故当cos 1时，|c|取最大值.法二：因为(ac)(bc)0，所以ac与bc互相垂直又因为ab
5、，所以a，b，ac，bc构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线当c是直径时，|c|达到最大值，此时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值为.法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a(1，0)，b(0，1)，设c(x，y)，则ac(1x，y)，bc(x，1y)由(ac)(bc)0得(1x)(x)y(1y)0，所以x2y2xy，从而，当且仅当xy1时取等号又|c|，故|c|的最大值为.答案：在ABC中，已知(2，4，0)，(1，3，0)，则ABC_解析：(2，4，0)，(1，3，0)，212010，| 2，|.cos，
6、.ABC135.答案：135如图，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与的夹角的余弦值解：设正方体的棱长为m，a，b，c，则|a|b|c|m，abbcac0，又ab，ca，(ab)(ca)m2，又|A1C1|m，|，cos，.(创新题)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a与，均垂直，求向量a的坐标解：(1)由题意，可得：(2，1，3)，(1，3，2)，cos，.sin，.所以，以，为邻边的平行四边形的面积为S|sin，147.(2)设a(x，y，z)由题意，得解得或a(1，1，1)或a(1，1，1)