1、课时分层作业(十七)空间向量基本定理空间向量的坐标表示(建议用时:40分钟)基础达标练一、填空题1若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xaybzc0,则x,y,z满足的条件是_解析由a,b,c是空间的一个基底知,a,b,c不共面由空间向量基本定理得xyz0.答案xyz02已知a(1,2,1),ab(1,2,1),则b_.解析ba(ab)(1,2,1)(1,2,1)(2,4,2)答案(2,4,2)3若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则是ab的_条件解析设k,易知ab,即条件具有充分性又若b0时,b(0,0,0),显然有ab,但条件显然不成立,所以条件不具有必要性
2、答案充分不必要4若a,b,c是空间的一个基底,向量mab,nab,则向量a,b,c中与m,n可以构成空间向量另一个基底的向量是_. 【导学号:71392170】解析显然a或b均与m,n共面,c与m,n不共面,故为c.答案c5如图3121所示,设O为ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若xy,则x_,y_.图3121解析()(),x,y.答案6已知a(2x,1,3),b(1,2y,9),若ab,则x_,y_.解析a(2x,1,3),b(1,2y,9),又ab,显然y0,x,y.答案7如图3122在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC
3、,DD1的中点,写出下列向量的坐标_,OB1_.图3122解析A(2,0,0),M(0,0,1),B1(2,2,2),O(1,1,0),(2,0,1),(1,1,2)答案(2,0,1)(1,1,2)8已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,点M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG2GN,用基底向量,表示向量为_. 【导学号:71392171】图3123解析()().答案二、解答题9如图3124所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点图3124(1)化简:;(2)设E是棱DD1上的点且,若xyz,试求x,y,z的值解(1),().(2)().即x,y,z
4、.10如图3125,在长方体ABCDA1B1C1D1中,DADC4,DD13,点P是线段BD1上一动点,E是BC的中点,当点P在什么位置时,PEA1B? 【导学号:71392172】图3125解以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(4,0,3),B(4,4,0),C(0,4,0),D1(0,0,3)E为BC的中点,E(2,4,0)(4,4,0)(4,0,3)(0,4,3),(0,0,3)(4,4,0)(4,4,3),(4,4,0)(2,4,0)(2,0,0)设,则.(2,0,0),(4,4,3),(24,4,3)由PEA1B,得,.此时点P为BD1的中点故当点P为BD1的中点时,P
5、EA1B.能力提升练1有以下命题:如果向量a,b与任何向量均不能构成空间向量的一组基底,那么a,b的关系是不共线;O,A,B,C为空间四点,且向量,不构成空间的一个基底,则点O,A,B,C一定共面;已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量ab,ab,c也是空间的一个基底其中正确的命题是_解析错误,当a,b共线时,才可与任何向量不能构成空间向量的一组基底;由于,不构成空间的一个基底,故,共面,即O,A,B,C四点共面,即正确;如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设a,b,c,则ab,ab,显然,不共面,也是基底,正确答案2已知点A(4,1,3),B(2,5,1),C为线段AB上一点,且,则C点坐标为_解析设C点坐标为(x,y,z),则(x4,y1,z3)(2,6,2),(2,6,2),解得答案3一个向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),则p在ab,ab,c下的坐标为_解析设px(ab)y(ab)zc,则p(xy)a(xy)bzc,又pa2b3c,x,y,z3.p在ab,ab,c下的坐标为.答案4如图3126所示,M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点,用向量,表示和. 【导学号:71392173】图3126解()().()().