1、高考资源网（） 您身边的高考专家提能拔高限时训练44 空间距离一、选择题1.、是两个平行平面,a,b,a与b之间的距离为d1,与之间的距离为d2,则( )A.d1=d2 B.d1d2 C.d1d2 D.d1d2解析:若a、b为异面直线时,d1=d2,若ab时,d1d2.答案:D2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(01),则点G到平面D1EF的距离为( )A.3 B. C. D.解析:A1B1EF,A1B1平面D1EF.A1到面D1EF的距离等于G到面D1EF的距离.在面A1ED1中,作A1HED1,垂足为H.
2、面A1ED1面D1EF,A1H面D1EF.在A1ED1中,.答案:D3.如图,四棱锥PABCD的底面为正方形,PD底面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则有( )A.1d1d2 B.d1d21C.d11d2 D.d2d11解析:CD平面PAB,C到平面PAB的距离等于D到平面PAB的距离.过D作DEPA,则DE平面PAB.B与D到平面PAC的距离相等.设ACBD=O,则平面PDO平面PAC,d2等于D到PO的距离.可计算,d2d11.答案:D4.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则E到平面ABC1D1的距离
3、是( )A. B. C. D.解析:A1B1平面ABC1D1,点B1到平面ABC1D1的距离等于点E到平面ABC1D1的距离.答案:B5.如右图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P,它到直线A1B1与到直线AD的距离相等,则动点P所在曲线形状为(图中实线部分)( )解析:由已知,得点P到点A的距离等于点P到直线A1B1的距离,点P的轨迹为以A为焦点,A1B1为准线的抛物线在正方形ABB1A1内的部分.答案:C6.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一个各棱都相等的四面体,四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上,碳原子位于该四面体的中心,它与每个氢原子的距
4、离都是a.若将碳原子和氢原子均视为一个点,则任意两个氢原子之间的距离为( )A. B. C. D.解析:设A在平面BCD上的射影为E,O在AE上,VABCD=4VOBCD,AE=4OE.AO=a,.设AD=x,则,.答案:B7.在ABC中,C=90,B=30,AC=2,M为AB中点,将ACM沿CM折起,使A、B间的距离为22,则M到面ABC的距离为( )A. B. C.1 D.2解析:从点M作面ABC的垂线.如图,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有MA=MB=MC=2,从而点M在面ABC上的射影一定在AB和BC的中垂线上,即ABC的外心.而由AC2+AB2=4+8=12=BC2,知AB
5、C是直角三角形,所以ABC的外心为斜边的中点.取BC的中点G,连结MG,MG即为三棱锥的高.显然MG=1.答案:C8.设OA,OB,OC为不共面的三条射线,若AOB=AOC=60,BOC=90,点P为射线OA上一点,设OP=a,则点P到平面OBC的距离为( )A. B. C. D.解析:如图所示,过P作PG平面OBC于点G,则PG的长即为所求.由AOB=AOC,知点G在BOC的角平分线上.过G作GHOB于点H,连结PH,由三垂线定理,得PHOB,OH=a,OG=a.在RtPGO中,故选D.答案:D9.如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E为BC中点,F为PA
6、上一点,FGAD.若异面直线DE与BF所成角的余弦值为,则PG的长为( )A.1 B. C.2 D.解析:如图,取AD的中点H,连结BH,则BHED,所以FBH即为异面直线DE与BF所成的角,所以.设FA=x,又,则,由余弦定理,可得,即,所以F为PA的中点.又FGAD,所以G为PD的中点,且,故.答案:C10.斜边长为2a的直角三角板ABC的直角顶点C在桌面上,斜边AB与桌面平行,A=30,三角板ABC与桌面所成的锐角为45,则边AC的中点到桌面的距离是( )A. B. C. D.解析:先求出直线AB到桌面的距离,点A到桌面的距离就是直线AB到桌面的距离;而AC的中点到桌面的距离就是点A到桌
7、面距离的一半.如图,A1B1为AB在桌面上的射影,CDAB,D1为D在A1B1上的射影.面ABC与桌面所成锐二面角为45,又点C到AB的距离CD为,.AB到桌面的距离为,则AC的中点到桌面的距离为,故选D.答案:D二、填空题11.平面内有RtABC,C=90,P是平面外一点,且PA=PB=PC,P到的距离是40 cm,AC=18 cm,则点P到BC边的距离是_.解析:作PO平面ABC,垂足为O,PA=PB=PC,AO=BO=CO,O为ABC的外心.又ACB=90,O是AB边的中点.作ODBC,由三垂线定理,知PDBC.PD是点P到BC边的距离,且ODAC.OD=9 cm.在RtPOD中,(cm
8、).故点P到BC的距离为41 cm.答案:41 cm12.把长、宽分别为、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角,则顶点B和D之间的距离是_.解析:作DEAC,垂足为E,BFAC,垂足为F.AB=,AD=2,EF=2.又二面角DACB为60,DEAC,BFAC,异面直线DE、BF所成的角为60.答案:13.如图,已知点E是棱长为2的正方体AC1的棱AA1的中点,则点A到平面EBD的距离等于_.解析:可求得SEBD=.设点A到面EBD的距离为d,由VAEBD=VBADE,得,解得.答案:14.已知菱形ABCD中,AB=2,A=120,沿对角线BD将ABD折起,使二面角ABDC为120，则
9、点A到BCD所在平面的距离等于_.解析:如图,ABD沿BD折起,A到A点处,连结AC、BD交于点O,连结AO,则AOC为二面角的平面角.AOC=120.故AOA=60.又,点A到面BCD的距离为.答案: 三、解答题15.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2(如图).(1)求证:平面A1BC1平面ACD1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离.解:(1)由于BC1AD1,则BC1平面ACD1.同理,A1B平面ACD1,则平面A1BC1平面ACD1.(2)设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d,则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5,A1B=25,
10、BC1=13,则,则,则SA1BC1=.由于VD1A1BC1=VBA1C1D1,则.代入求得,即(1)中两个平行平面间的距离等于.16.如图,在三棱锥PABC中,AC=BC=2,ACB=90,AP=BP=AB,PCAC.(1)求证:PCAB;(2)求二面角B-AP-C的大小;(3)(理)求点C到平面APB的距离.解法一:(1)证明:如图,取AB中点D,连结PD、CD.因为AP=BP,所以PDAB.因为AC=BC,所以CDAB.因为PDCD=D,所以AB平面PCD.因为PC平面PCD,所以PCAB.(2)因为AC=BC,AP=BP,所以APCBPC.又PCAC,所以PCBC.又ACB=90,即A
11、CBC,且ACPC=C,所以BC平面PAC.取AP中点E,连结BE、CE.因为ABBP,所以BEAP.因为EC是BE在平面PAC内的射影,所以CEAP.所以BEC是二面角BAPC的平面角.在BCE中,BCE=90,BC=2,所以.故二面角BAPC的大小为.(3)由(1)知AB平面PCD,所以平面APB平面PCD.如图,过C作CHPD,垂足为H.因为平面APB平面PCD=PD,所以CH平面APB.所以CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PCAB,又PCAC,且ABAC=A,所以PC平面ABC.因为CD平面ABC,所以PCCD.在RtPCD中,CD=AB=2,所以.所以.所以点C到平面A
12、PB的距离为.解法二:(1)同解法一;(2)如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t).因为,所以t=2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.因为|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,所以CEAP,BEAP.所以BEC是二面角BAPC的平面角.因为E(0,1,1), ,所以.所以二面角B-A-PC的大小为.(3)因为AC=BC=PC,所以C在平面APB内的射影为正APB的中心H,且CH的长为点C到平面APB的距离.如(2)建立空间直角坐标系Cxyz.因为,所以点H的坐标为.所以.所以点C到平面APB的距离
13、为.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例题】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2,AC=BC=1,ACB=90,点E是AB的中点,点F在侧棱BB1上,且EFCA1.(1)求二面角C-A1F-E的大小;(2)求点E到平面CA1F的距离.解法一:(1)过E作EGFA1,垂足为G,连结CG.在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面A1B平面ABC,又AC=BC,E为AB中点,CEAB.CE平面A1B.CGA1F.CGE为二面角C-A1F-E的平面角.又CE平面A1B,CEEF.而EF平面CA1,EF平面A1CE.EFA1E.A1AEEBF.在RtA1AE中,在RtEBF中,.又,.CGE=45
14、,即二面角CA1FE的大小为45.(2)设顶点E到平面A1CF的距离为d,由(1)知CG=1,CE平面A1B,A1FEF,VE-A1CF=VC-A1EF,.,即点E到平面CA1F的距离为.解法二:(1)如图,分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,并设BF=x,则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),F(0,1,x),A1(1,0,2),则,EFCA1,则,.设向量n=(x,y,z)为平面A1CF的法向量,则,.又,令x=2,则z=-1,.由题意CA=CB,E为AB的中点,CEAB.又三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，CE平面A1EF.为平面A1EF的法向量,.二面角C-A1F-E的大小为45.(2)向量CE在平面CA1F的法向量n上的射影的长为,向量在平面A1CF的法向量n上的射影长即为点E到平面A1CF的距离.点E到平面A1CF的距离为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 16 - 版权所有高考资源网
