1、江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分 不必要条件，则实数的取值范围是 答案： 2复数（是虚数单位），则= 答案：3为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体 进行教学次数在内的人数为 答案：100 解析：所抽取的20人中在内的人数10人，故可得200名教师中使用多媒体进行教学次数在内的人数
2、为=100人。4如图是一个算法的流程图，则最后输出的的值为 答案：14 解析：本题考查算法流程图。 所以输出。5已知是等差数列的前项和，若4，16，则的最大值是 答案：96用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 答案：7若在区间和上分别各取一个数，记为和，则方程表示焦点在 轴上的椭圆的概率为 答案：2 解析：本题考查线性规划和几何概型。 由题意知画可行域如图阴影部分。 直线与，的交点分别为（2,2），（4,4） 阴影梯形的面积为， 而区间和构成的区域面积为8，故所求的概率为。8设是实数若函数是定义在上的奇函数，但不是偶函数，
3、则函数的递增区间为 答案：9已知三次函数在R上单调递增，则的最小 值为 答案：3解析:由题意0在R上恒成立，则，0令 3（当且仅当，即时取“=”10若函数，对任意实数，都有，且， 则实数的值等于 答案：或。解析：本题考查三角函数的图象与性质。 由可知是该函数的一条对称轴， 故当时，或。又由可得或。 11已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线 PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为 答案：解析：一定关于原点对称，设，则， 12已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。若，且是正整数，则q等于 答案：13已知a 0，b 0，且，其中a，b表示
4、数a，b中较小的数，则h的最大值为 答案：14已知定义在上的函数f(x)满足f(1)2，则不等式解集 答案：二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分14分) 如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为. 求的值； 若,求.解：由三角函数的定义知 .又由三角函数线知,为第一象限角,. 7分,.又,. 8分.由,得,. 14分16(本题满分14分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,、分别为、的中点. 证明：； (理)求二面角的正切值； 求点到平面的距离.解：解法：
5、取中点,连结、.,平面,又平面,. 4分 平面,平面,平面平面.过作于,则平面,过作于,连结,则,为二面角的平面角.平面平面,平面.又平面,.,且.在正中,由平几知识可求得,在中,二面角的正切值为. 8分 在中,.设点到平面的距离为,平面,.即点到平面的距离为. 14分解法：取中点,连结、.,.平面平面, 平面平面,平面,.如图所示建立空间直角坐标系,则,. 6分 ,又,.设为平面的一个法向量,则,取,.又为平面的一个法向量,得.即二面角的正切值为. 10分 由得,又为平面的一个法向量,点到平面的距离.14分17(本题满分14分)某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个
6、形如ABC的支架，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？解：设BCx米（x1），ACy米，则ABy在ABC中，由余弦定理，得(y)2y2x22xycos60所以y（x1）法一：y(x1)22当且仅当x1，即x1时，y有最小值2法二： y由y0得x1因为当1x1时，y0；当x1时，y0，所以当x1时，y有最小值2答：AC的最短长度为2米，此时BC的长度为（1）米14分18(本题满分16分)已知曲线E：ax2by21（a0，b0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交于点A、B，且2 （1）
7、若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；（2）若ab1，求直线AB的方程解：（1） 设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M(，0) 故(，2)，(x0，y0) 2分因为2，所以(，2)2(x0，y0)所以x0，y01即A(，1) 4分因为A，B都在曲线E上，所以解得a1，b所以曲线E的方程为x21 6分（2）（法一）当ab1时，曲线E为圆：x2y21设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为2，所以(x2，y2) 2(x1，y1)，即设线段AB的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，)所以(，)，(x2x1，y2y1)(3x1，3y1)因为OTAB，所以0，即34x13x3y0因为xy1，所
8、以x1，y1当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率k，所求直线AB的方程为yx1；当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率k，所求直线AB的方程为yx1 16分（法二）当ab1时，曲线E为圆：x2y21设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为2，所以(x2，y2) 2(x1，y1)，即因为点A，B在圆上，所以 由4，得(2x1x2)(2x1x2)3所以2x1x2，解得x1，x20由x1，得y1（以下同方法一）（法三）如图，设AB中点为T则TMTAMAAB，OM根据RtOTA和RtOTM，得即解得AB，OT所以在RtOTM中，ta
9、nOMT所以kAB或所以直线AB的方程为yx1或yx119(本题满分16分)设f(x)x3，等差数列an中a37，记Sn，令bnanSn，数列的前n项和为Tn（1）求an的通项公式和Sn； （2）求证：Tn；（3）是否存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由解：（1）设数列的公差为，由，解得,3,Sn4分(2) ， 。 8分(3)由(2)知， ， 成等比数列 ，即9分当时，7，1，不合题意；当时，16，符合题意；10分当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解； 12分当时， ，则，而，所以，此时不存在正
10、整数m，n，且1mn，使得成等比数列 15分综上，存在正整数m2，n16，且1mn，使得成等比数列16分20(本题满分16分)若函数（1）当，时，若函数的图象与轴所有交点的横坐标的和与积分别为，(i)求证：的图象与轴恰有两个交点；(ii)求证：（2）当，时，设函数有零点，求的最小值解：（1）(i)因为，所以是使取到最小值的唯一的值，且在区间上，函数单调递减；在区间上，函数单调递增因为，所以的图象与x轴恰有两个交点 4分(ii)设x1，x2是方程的两个实根，则有因式，且可令. 于是有. 分别比较（*）式中常数项和含x3的项的系数，得，解得，所以分别比较式中含x和x2的项的系数，得， + n得，即
11、10分（2）方程化为：，令,方程为，即有绝对值不小于2的实根设，当，即时，只需，此时，；当，即时，只需，此时，；当，即时，只需或，即或，此时的最小值为16分（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=POC证明：因AE=AC，AB为直径， 故OAC=OAE 3分所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC又EAC=PDE，所以，PDE=POC10
12、分B选修42：矩阵与变换试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =解：MN = =4分即在矩阵MN变换下6分即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为10分C选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系解：消去参数，得直线的普通方程为2分 即， 两边同乘以得， 6分（2）圆心到直线的距离， 所以直线和相交 10分D选修45：不等式选讲已知x，y，z均为正数求证：证明：因为x，y，z都是为正数，所以 3分同理可得 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分2
13、2【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、；表示事件“恰有一人通过笔试” 则-5分 （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，-8分所以，故-10分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以，于是，23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？解：（1）将代入得，-2分 由可知， 另一方面，弦长AB，解得；-6分（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得， -8分即，即位于（4，4）点处-10分
