1、4.2.2对数的运算性质学 习 任 务核 心 素 养1掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算(重点)2了解换底公式3能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数(难点)1借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养2通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.回顾指数性质：(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)那么对数有哪些性质？如loga(MN)？知识点1对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaM
2、nnlogaM(nR)1.当M0，N0时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN是否成立？提示不一定1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)log2x22log2x.()(2)loga(2)(3)loga(2)loga(3)()(3)logaMlogaNloga(MN)()答案(1)(2)(3)知识点2对数的换底公式若a0且a1；c0，c1，N0，则有logaN.2.换底公式中底数c是特定还是任意数？提示c是大于0且不等于1的任意数2._.答案2 类型1对数运算性质的应用【例1】计算下列各式：(1)log5；(2)log2(3242)；(3)log5352l
3、og5log57log5.解(1)原式log5625log554.(2)原式log232log242549.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57(log59log55)log55log572log572log53log572log53log552log552.对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)跟进训练1计算下列各式的值
4、：(1)lglglg；(2)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2；(3).解(1)原式lg 2lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5lg 10.(2)原式2lg 52lg 2lg 522lg 1022(lg 10)2213.(3)原式.【例2】化简：(1)log2(2882)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；(3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)解(1)log2(2882)log228(23)2log2(2832)log2 21414.(2)lg 24lg (38)lg 3lg 8lg 33lg 2.(3)loga(
5、xy2z)loga xloga y2loga zloga x2loga yloga z.1这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值要特别注意loga(MN)loga Mloga N，loga(MN)loga Mloga N.2对数的运算性质的推广：logam bnloga b(a，b0且a，b1，m0)跟进训练2化简：(1) (4582)；(2)279；(3)用lg x，lg y，lg z表示lg .解(1) (
6、4582)(21026) 21616216232.(2)27931.(3)lg lg x2lg lg 2lg xlg ylg z. 类型2换底公式及其应用【例3】(1)计算(log43log83)log32；(2)已知log189a,18b5，求log3645(用a、b表示)解 (1)原式log32log32.(2)因为18b5，所以blog185.所以log3645.本例(2)条件不变，求log915(用a、b表示)解因为18b5，所以log185b.所以log915.1换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以
7、e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定2换底公式推导出的两个恒等式(1)logamNnloga N；(2)loga blogb a1，要注意熟练应用跟进训练3已知log37a,2b3，试用a，b表示log1456.解因为2b3，所以blog23，即log32，log1456. 类型3对数运算在实际问题中的应用【例4】2020年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2020年的2倍？(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.080.033 4，精确到1年)思路点拨认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求
8、解解设经过x年，我国国民生产总值是2020年的2倍经过1年，总产值为a(18%)，经过2年，总产值为a(18%)2，经过x年，总产值为a(18%)x.由题意得a(18%)x2a，即1.08x2，两边取常用对数，得lg 1.08xlg 2，则x9(年)所以约经过9年，国民生产总值是2020年的2倍解对数应用题的步骤跟进训练4在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev2 000(e为自然对数的底数，ln 31.099)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)解因为vln
9、2 0002 000ln，所以v2 000ln 32 0001.0992 198(m/s)故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.1(多选题)若a0，a1，x0，y0，则下列式子正确的是()Alogaxlogayloga(xy)Blogaxlogayloga(xy)ClogalogaxlogayDloga(xy)logaxlogayCD由对数的运算性质知C、D正确2计算：log123log124等于()A1B2C3D4Alog123log124log12(34)1.3化简log6122log6的结果为_log6原式log6log62log6log6.4求值2lo
10、g510log50.25_.22log510log50.25log5100log50.25log5252.5已知2m5n10，则_.1因为mlog2 10，nlog5 10，所以lg 2lg 5lg 101.回顾本节知识，自我完成以下问题1运算性质中底数a能等于零或小于零吗？真数M、N呢？提示由对数的定义知底数a0，且a1.故不能小于或等于0.M、N均为正数2换底公式有哪些作用？提示利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于化简、求值3运用对数的运算性质应注意哪些问题？提示在各对数有意义的前提下应用运算性质根据不同的问题选择公式的正用或逆用避免出现以下公式错误：logaNn(logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN)4换底公式反映了数学上的哪种思想？提示转化与化归
