1、提能拔高限时训练54 离散型随机变量的期望与方差一、选择题1.若的分布列为01Ppq,其中p（0,1）,则（ ）A.Ep,Dp3 B.Ep,Dp2C.Eq,Dq2 D.E1-p,Dp-p2解析：由p+q1,q1-p.E0p+1q1-p,D0-（1-p）2p1-（1-p）2qp-p2.答案：D2.已知B（n,p）且E7,D6,则p等于（ ）A. B. C. D.解析：B（n,p）,Enp7,Dnp（1-p）6.答案：A3.已知某一随机变量的概率分布列如下,且E6.3,则a的值为（ ）4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.8解析：由分布列性质知0.50.1b1,b0.4.E40.5a0
2、.190.46.3.a7.故选C.答案：C4.已知随机变量N（3,22）,若23,则D等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.4解析：由23,得D4D,而D4,则D1,故选B.答案：B5.若p为非负实数,随机变量的分布列为012Pp则E的最大值为（ ）A.1 B. C. D.2解析：由p0,则,.答案：B6.设随机变量B（n,p）,且E1.6,D1.28,则（ ）A.n8,p0.2 B.n4,p0.4C.n5,p0.32 D.n7,p0.45解析：由Enp,Dnp（1-p）可知答案：A7.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,
3、则|x-y|的值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析：由已知,可得解之,得或|x-y|4.答案：D8.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,分布列如下：射手甲击中环数18910概率P0.20.60.2射手乙击中环数28910概率P0.40.20.4则两名射手的射击水平是（ ）A.甲比乙优秀 B.乙比甲优秀C.甲、乙水平相当 D.不能比较解析：E180.290.6100.29,E280.490.2100.49,D1（8-9）20.2（9-9）20.6（10-9）20.20.4,D2（8-9）20.4（9-9）20.2（10-9）20.40.8.由E1E29,D10.4D20.8,可知甲比乙优
4、秀.答案：A9.设离散型随机变量满足E-1,D3,则E3（2-2）为（ ）A.2 B.6 C.4 D.3解析：由DE2-（E）2,E3（2-2）E（32-6）3E2-63D（E）2-63（31）-66.答案：B10.已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3,在这些抛物线中,记随机变量“|a-b|的取值”,则的数学期望E为（ ）A. B. C. D.解析：对称轴在y轴的左侧（a与b同号）的抛物线有,的可能取值有0、1、2,.答案：A二、填空题11.设随机变量的分布列为,i1,2,3的a的值为_.解析：,又,.答案：12.甲从学校乘车回家
5、,途中有3个交通岗,假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,则甲回家途中遇红灯次数的期望为_.解析：设甲在途中遇红灯次数为,则B（3,）,所以.答案：1.213.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数的数学期望E_.解析：的取值为0,1,2,.答案：14.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.解析：,等号在时成立，此时D25，5.答案： 5三、解答题15.随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元
6、、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为.（1）求的分布列;（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）;（3）经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?解：（1）的所有可能取值有6,2,1,-2;,.的分布列为621-2P0.630.250.10.02（2）E0.6360.2520.110.02（-2）4.34,即一种产品的平均利润为4.34万元.（3）设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E（x）60.72（1-0.7-0.01-x）1x（-
7、2）0.014.76-x（0x0.29）,依题意,知E（x）4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03,所以三等品率最多为3%.16.因冰雪灾害,某柑橘基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种方案都需分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概
8、率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立,令i（i1,2）表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.（1）写出1、2的分布列.（2）实施哪种方案,两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案,如果实施两年后柑橘产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大?解：（1）1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25,2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44,1,2的分布列分别为10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.1520.80.961
9、.01.21.44P0.30.20.180.240.08（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量这一事件.P（A）0.150.150.3,P（B）0.240.080.32.可见,方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大.（3）令i表示方案i的预计利润,则1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以E114.75,E214.1.可见,方案一的预计利润更大.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,其上数字记作y,令x
10、y.求：（1）所取各值的分布列;（2）随机变量的数学期望与方差.解：（1）随机变量的可能取值有0,1,2,4,“0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为;“1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为;“2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为;“4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为.则的分布列为0124P（2）,.【例2】设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次任取一个,并且取出不再放回,若以表示取出次品的个数,求的分布列、期望和方差.解：的可能取值为0,1,2.若0表示没有取出次品,其概率为,同理,.的分布列为012P,.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
