1、2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学习目标1.理解并掌握等差数列前n项和公式的推导过程,体会其与二次函数的关系.(逻辑推理)2.熟练掌握等差数列中五个基本量:a1,an,n,d,Sn的计算.(逻辑推理、数学运算)必备知识自主学习 导思1.等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗?2.求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?1.等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn=Sn=na1+d【思考】(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n项和?提示:运用公式Sn=.(2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n项和?提示:运用公式
2、Sn=na1+d.2.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn=na1+d整理成关于n的函数可得Sn=n2+n.【思考】Sn=an2+bn+c,其中a,b,c为常数,一定为一个等差数列的前n项和吗?提示:不一定.当c=0时,Sn=an2+bn是一个等差数列的前n项和.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)等差数列an中,S9=9a5.()(2)等差数列的前n项和Sn一定是n的二次式.()(3)和式a4+a5+a6+a13中共有9项求和.()提示:(1).S9=9a5.(2).当公差d=0时,Sn=na1不是n的二次式.(3).a4+a5+a6+a13
3、表示前13项的和减去前3项的和,共有10项求和.2.已知等差数列的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= ()A.-20B.-40C.-60D.-80【解析】选D.由等差数列前n项和公式,S10=101+109(-2)=-80.3.在等差数列an中,S10=120,那么a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48【解析】选B.S10=10(a1+a10)=120,所以a1+a10=24.4.(教材二次开发:习题改编)Sn+1=1+2+3+n+(n+1)=.【解析】由题知等差数列的首项a1=1,末项是n+1,项数为n+1.由前n项和公式得Sn+1=.答案:关键能力合作学习类型
4、一等差数列的前n项和(逻辑推理)角度1等差数列前n项和的计算【典例】在等差数列an中.(1)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【思路导引】利用通项公式和求和公式列出方程,求解各个未知数.【解析】(1)由题意得,Sn=-5,解得n=15.又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.所以n=15,d=-.(2)由已知得S8=172,解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5,所以a8=39,d=5.角度2等差数列前n项和的最值【典例】(2020会宁高二检测)在等差数列an中,a10=18,前5项的和S5=-15.(1)求数列an的
5、通项公式;(2)求数列an的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.【思路导引】(1)设公差为d,直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程,求得a1和d,进而得解;(2)可先求出前n项和公式,再利用二次函数求最值的方法求解,也可以利用通项公式,根据等差数列的单调性求解.【解析】(1)由题意得得a1=-9,d=3,所以an=3n-12.(2)方法一:Sn=(3n2-21n)=-,所以当n=3或4时,前n项的和取得最小值S3=S4=-18.方法二:设Sn最小,则即解得3n4,又nN+,所以当n=3或4时,前n项和取得最小值S3=S4=-18.【解题策略】等差数列前n项和的
6、最值问题的三种解法(1)利用an:当a10,d0时,前n项和有最大值.可由an0,且an+10,求得n的值;当a10,前n项和有最小值,可由an0,且an+10,求得n的值.(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d0),利用二次函数的配方法求得最值时n的值.(3)利用二次函数图像的对称性.易错警示:利用二次函数求等差数列前n项和的最值时,不要忽视n是正整数这一隐含条件.【题组训练】1.(2020石嘴山高二检测)已知等差数列的前n项和为Sn,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得Sn取最小值时的n为()A.1B.6C.7D.6或7【解析】选B.由等差数列an的性质,可得a1+a5=2a3=-14
7、a3=-7,又S9=-27a1+a9=-6a5=-3,所以d=2,所以数列an的通项公式为an=a3+(n-3)d=-7+(n-3)2=2n-13,令an02n-130,解得n,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得Sn取最小值时的n为6.2.若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,所以a80.又a7+a10=a8+a90,所以a90时,求n的最大值.【解析】(1)由已知a6=a1+5d=23+5d0,a7=a1+6d=23+6d0,解得:-d-,又dZ,所以d=-4.(2)因为d0,a70,整理得:n(50-4n)0,所以0n0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,
8、n的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选B.方法一:因为a10,S4=S8,所以d0,且a1=-d,所以an=-d+(n-1)d=nd-d,由得所以50,S4=S8,所以d0,a70,所以前六项之和S6取最大值.3.设Sn是等差数列an的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为.【解析】设等差数列an的公差为d,因为a2=7,S7=-7,所以解方程组可得所以a7=a1+6d=11-64=-13.答案:-134.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则= .【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,
9、d0),所以=4.答案:45.(教材二次开发:习题改编)程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,则第八个孩子分得斤数为()A.65B.176C.183D.184【解析】选D.由已知,每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an,其中d=17,n=8,S8=996.由等差数列前n项和公式可得8a1+17=996,解得a1=65.由等差数列通项公式得a8=65+(8-1)17=184.6.设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,求S9.【解析】由S4=14,S10-S7=30,得即解得a1=2,d=1.所以S9=9a1+36d=54.
