1、厦门双十中学2018-2019高二数学（理科）期中考试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题卷的相应位置1.定积分的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据微积分基本定理，计算出定积分.【详解】.故选C.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理，计算定积分.2.用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当时，左边为，故选C.【点睛】本小题主要考查
2、数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.3.在复平面内，复数表示的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法和乘方运算化简为的形式，由此判断出对应点所在的象限.【详解】对应的点在第二象限,，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数对应点坐标所在的象限.4.某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表经计算，则下列选项正确的是（ ）使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表0.0250.0100.00500015.0
3、246.6357.87910.828A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】【分析】根据的值，结合附表所给数据，选出正确选项.【详解】依题意，故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，所以选A.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验的知识，属于基础题.5. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】D试题分析：根据
4、导数的几何意义，即f（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算解：，y（0）=a1=2，a=3故答案选D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程6.已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，成等比数列，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据等比中项列方程，然后利用基本元的思想，将已知转化为的形式， 用特殊值法选出正确选项.【详解】，不妨令，.故选B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7.设变量满足约束条件且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出可行域
5、，根据在点处取得最大值，求得的取值范围.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然，否则可行域无意义由图可知在点处取得最大值，由得，综上：【点睛】本小题主要考查已知线性目标函数的取值范围，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.如图，在中，于点，于点，则有，类似地有命题：如图（2），在三棱锥中，面ABC，若在内的射影为 ,则，那么上述命题（ ）A. 是真命题B. 增加条件“”后才是真命题C. 是假命题D. 增加条件“三棱锥是正三棱锥”后才是真命题【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形中的射影定理，类比到空间三棱锥的摄影定理.【详解】由已知垂直关系，不妨进行如
6、下类比：将题图（2）中的，分别与题图（1）中的AB，BD，BC进行类比即可严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE，则，因为面ABC，所以又因为，所以，所以故选A【点睛】本小题主要考查类比推理，考查合情推理的方法，属于基础题.9.已知函数，则的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用常用不等式，求得，且，由此得出正确选项.【详解】，当且仅当时等号成立，故选A【点睛】本小题主要考查识别函数图像，考查常用不等式.属于基础题.10.若函数在内有极值，则实数b的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令函数的导函数等于零，分离常数得到，
7、根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】，在内有极值，注时，在上递增，没有极值故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究极值问题，属于基础题.11.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3C. D. 4【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距
8、离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12.已知是定义在R上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（
9、）A. 对于任意，B. 对于任意，C. 当且仅当，D. 当且仅当，【答案】B【解析】【分析】取特殊值，令，结合题目所给不等式，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】从选择支看，只需判断的符号，排除A、C、D，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数，考查特殊值法解选择题，属于基础题.第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卷的相应位置13.复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则|z|_.【答案】2【解析】【分析】由题易知a21=0，且(a1)0，求得a的值，得出复数z，再求得其模长.【详解】因为复数za21(a1)i(a
10、R)是纯虚数，所以a21=0，且(a1)0，解得 所以复数，即|z|2故答案为2【点睛】本题考查了复数的定义，纯虚数，以及模长的求法，属于基础题.14.已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积等于_【答案】【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体可看作长方体一角，长方体的外接球即是三棱锥的外接球，根据长方体的体对角线，求得外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是长方体一角，体对角线即外接球的直径，故.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查长方体外接球半径的求法，属于基础题.15.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点若，则的长_【答案】
11、【解析】【分析】画出图像，根据抛物线的定义求得，利用相似三角形，对应边成比例，列方程求得的长.【详解】设,如图：；，由相似于三角形FHB得：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查相似三角形的性质，属于基础题.16.已知函数，则最小值是_【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相
12、关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤请在答题卷相应题目的答题区域内作答17.设等差数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式及前n项和公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将已知条件转化为 的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式以及前项和公式.（2）利用放缩法和裂项求法和，证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为d，
13、由已知得，即解得，故，.（2）【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式以及前项和公式，考查放缩法和裂项求和法证明不等式，属于中档题.18.已知函数，（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）求证：【答案】（1）在单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据列方程，由此求得的值，进而利用导数求得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论，得到，对进行赋值，然后相加，利用对数运算公式化简，由此证得不等式成立.【详解】（1）解：，,因为，所以，得， 令或,又，所以在单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知， ， .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点
14、，考查不等式的证明，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点(1)证明：平面；(2)设二面角为，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得，从而可求得底面积
15、，体积试题解析：（1）证明：连，设，连，是的中点，平面，平面，平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则设则设为平面的法向量，则取又为平面的一个法向量，因为为的中点，所以三棱锥的高为，考点：线面平行判定，二面角20.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)1.4720.60.782.350.81-19.316.2表中（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回
16、归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）更适宜；（2）；（3）时，煤气用量最小【解析】【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件【详解】（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型（2）由公式可得：，所以所求回归方程为（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“=”，即时，煤气用量最小【点睛】本题考查可化为线性相关的回归方程的求解，
17、基本不等式的应用，熟记回归方程计算公式和基本不等式，准确计算是关键，属于中档题21.设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点（1）求直线AB的方程；（2）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）利用点差法列式进行化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）求得直线的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系以及弦长公式，求得弦长，求得中点的坐标.同理求得弦长，计算到直线的距离，由此计算出【详解】（1）设，则有,依题意，是AB的中点，从而又，在椭圆内，直线AB的方程为
18、，即（2）垂直平分AB，直线CD的方程为，即，代入椭圆方程，整理得又设，CD的中点为，则，是方程的两根，且，即中点,于是由弦长公式可得将直线AB的方程，代入椭圆方程得,同理可得点M到直线AB的距离为，四点共圆，且原方程为：.【点睛】本小题主要考查利用点差法求解有关弦的中点问题，考查四点共面的证明，属于中档题.22.已知为函数的导函数.（1）分别判断与奇偶性；（2）若，求的零点个数；（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）为偶函数，为奇函数 ；（2）三个；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇偶函数定义对的奇偶性进行判断.（2）根据（1）求得的的奇偶性可知，只需先研究时的零点利用
19、的导数，研究的单调性，由此判断出在时，存在唯一解，根据函数为奇函数，得到的零点个数为个.（3）由（1）知为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.对分成，利用函数的一阶导数，和二阶导数研究的单调性，由此求得的取值范围.【详解】（1），为偶函数；，且所以为奇函数 ；（2）由（1）知只需先研究时的零点记的导数为，令，设方程两根为，又，或或又，在减，在增 ，且，在时，存在唯一解，在R上有三个零点； （3），为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.时，在增，在增，；时，令由（1）知，在减，在恒成立，存在，使得，所以不满足题意,综上所述，.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导
20、数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.23.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当 时，函数 的图象与轴交于两点 ，且 ，又是的导函数.若正常数 满足条件.证明：.【答案】(1)-1；(2)；(3)参考解析【解析】试题分析：（1），可知在,1是增函数，在1,2是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立。，利用分离参数在上恒成立，即求的最大值。（3）有两个实根， ，两式相减，又，要证：，只需证：，令可证。试题解析：（1） 函数在,1是增函数，在1,2是减函数，所以 （2）因为，
21、所以， 因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立，有=，（） 综上： （3），又有两个实根，两式相减，得， , 于是 要证：，只需证：只需证：(*) 令，(*)化为 ，只证即可在（0，1）上单调递增，即 （其他解法根据情况酌情给分）24.若中心在原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，且它们的离心率互为倒数，圆的直径是椭圆的长轴，C是椭圆的上顶点，动直线AB过C点且与圆交于A、B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线AB的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得双曲线的焦点坐标和离心率，由此求得椭圆的值，进而求得椭圆标准方程.（2）当
22、直线斜率不存在时，不能构成三角形，不符合题意.当直线的斜率存在且不为零时，设出直线的方程，得到直线的方程，计算圆心到直线的的距离，由直线和圆相交的弦长公式计算出弦长.利用直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式，计算出弦长.由此求得，利用换元法和基本不等式，求得面积的最大值，根据基本不等式等号成立的条件求得直线的斜率，由此求得直线的方程.当直线的斜率为零时，计算出，不是最大值.【详解】（1）解：双曲线的焦点为，离心率为 ，由题意，解得：，.椭圆方程为 ；（2）解：当直线AB斜率不存在时，不能构成三角形，不符合题意当AB斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，直线CD的方程为圆心到直线AB的距离为，直线AB被圆所截得的弦长，由得：，故，令，则，故，当且仅当，即时，等号成立，此时，当直线AB斜率为0，即轴时，面积的最大值为，这时直线AB的方程为.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆、圆相交所得弦长的计算，考查三角形面积的最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
