1、课时提升作业 十四三角函数模型的简单应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x+cosx的大致图象是()【解析】选B.因为f(x)=x+cosx,所以f(-x)=-x+cosx,则f(-x)f(x)且f(-x)-f(x).故此函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,排除A,C.又当x=时,+cos=,排除D.2.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=xcosxD.f(x)=x【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D,又在x=0时函数有意义,排除B,取x=,由图象知f=0,排除A.3.如图所
2、示单摆从某点开始来回摆动离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A.2sB.sC.0.5sD.1s【解析】选D.单摆来回摆动一次所需时间恰好是一个周期T=1(s).4.(2018临沂高一检测)已知函数y=3cos(0)的图象与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离为,则的值为()A.3B.C.D.【解题指南】y=3cos的最大值为3,公共点处是最大值处,故相邻两公共点之间的距离即为一个周期,进而由T=求出.【解析】选A.y=3cos的最大值为3,所以与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离正好为一个周期,故=3.5.(2018襄阳高一检测
3、)设y=f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数,其中0t24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系:t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观测,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=Asin(t+)+k的图象.下面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是()A.y=12+3sint,t0,24B.y=12+3sin,t0,24C.y=12+3sint,t0,24D.y=12+3sin,t0,24【解析】选A.由已知数据,易得y=f(t)的周期T=12.所以=.由已知易得振幅A=3
4、,k=12,又t=0时,y=12,所以令0+=0得=0,故y=12+3sint,t0,24.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin,t0,+),则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为_次.【解析】因为f=50,所以0.5s内往复运动的次数为0.550=25.答案:257.(2018昆明高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+),对任意实数x都有f(x),则f(x)的单调增区间是_.【解析】对任意实数x都有f(x),所以x=时,f(x)取最值,即2+=+2k(kZ),又00,-0).根据图中数据求函数解析式.【解析】
5、由图象可知ymax=900,ymin=700,且A+b=ymax,-A+b=ymin,所以A=100,b=800,且T=12=,所以=,将(7,900)代入函数解析式得7+=+2k,kZ.所以=-+2k,kZ.因为-0)角到OB,设B点与地面距离为h,则h与的关系式为()A.h=5.6+4.8sinB.h=5.6+4.8cosC.h=5.6+4.8cosD.h=5.6+4.8sin【解析】选D.过点B作平行于地面的直线l,再过点O作l的垂线,垂足为点P,则BOP=-,则BP=OBsin=4.8sin.故h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(20
6、18韶关高一检测)直线y=a与曲线y=sin(x+)在(0,2)内有两个不同的交点,则实数a的取值范围是_.【解析】y=sin的图象是由y=sinx向左平移个单位得到的,且x=0时y=,所以a的取值范围是.答案:【误区警示】本题易忽视a而导致错误.【补偿训练】直线y=a与曲线y=sinx在(0,2)内有两个不同的交点,则实数a的取值范围是_.【解析】由y=sinx,x(0,2)的图象得,a(-1,0)(0,1).答案:(-1,0)(0,1)4.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间0,t上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是_.【解析】函数y=-sinx的周期T=4
7、.且x=3时y=1取得最大值,因此t7.所以正整数t的最小值是7.答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)5.如图所示,摩天轮的半径为40m,O点距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的P点的起始位置在最低点处.(1)试确定在时刻t分时P点距离地面的高度.(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间P点距离地面不低于70m?【解析】(1)以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系,设t分时P距地面高度为y,依题意得y=40sin+50.(2)令40sin+5070,所以sin,所以2k+t-2k+,kZ所以2k+t2k+,kZ所以3k+1t3k+2,kZ.令k=0得1t2
8、.因此在摩天轮转动的一圈内,共有1min点P距地面不低于过70m.6.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,寺庙想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间
9、的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0|),根据条件,可知这个函数的周期是12;由可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由可知,f(x)在2,8上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,=12,故=,且解得根据分析可知,当x=2时f(x)最小,当x=8时f(x)最大,故sin=-1,且sin=1.又因为0|,故=-.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.(2)由条件可知,200sin+300400,化简,得sin,即2k+x-2k+,kZ,解得12k+6x12k+10,kZ.因为xN*,且1x12,故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.
