1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为根据复数的除法运算得到故可知复数的虚部为1，故选C.考点：本试题主
2、要是考查了复数的除法运算，以及复数概念点评：对于复数的除法运算，既可以分母乘以其共轭复数，也可以将表达式整体变形，消项来求解得到对于复数中虚部的理解要准确，是虚数单位前面的系数2.若f(x0)3，则等于()A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】D【解析】【分析】由于f(x0)3，而的形态与导数的定义形态不一样，故需要对转化成利用即可求解.【详解】f(x0)3，f(x0)3f(x0)4f(x0)12.答案：D【点睛】本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【
3、解析】【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，可得其渐近线的方程【详解】双曲线的渐近线方程是 ，即 ，故选B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质等知识，属于基础题4.设，则“”是“”的（ ）A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】B【解析】【分析】举反例进行判断即可【详解】若a1，b-4，满足，但此时不成立，若，如a-4，b1，此时不成立，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，举反例是解决本题的关键，属于基础题5.已知实数满足, 则使的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解
4、析】【详解】由题意，可知表示半径为的圆,周长为，又点到直线的距离为，所以直线被圆所截的弧所对的圆心角为,由几何概型的概率公式可得使的概率为，故选C.6. 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A. 30种B. 26种C. 24种D. 20种【答案】D【解析】试题分析：由题甲班级分配2个名额，其它班可不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的方案；甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额
5、或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案考点：分类计数原理的运用7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为）的点的个数估计值为（ ）.A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【答案】B【解析】，则，因此点落入阴影部分的概率为，从而所求点的个数估计为，故选B8.设函数，若函数的图像在点处的切线与轴垂直，则实数（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得a+2b0，b1，即可求得a+b【详解】函数f（x）aln
6、x+bx2的导数为2bx，由题意可得，在点（1，1）处的切线斜率为a+2b0，又aln1+b1，解得b1，a2，即a+b1故选D【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，属于基础题9.已知椭圆的焦距为，椭圆C与圆交于M，N两点，且，则椭圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先画出草图，通过计算，便可得到MN的中点即为椭圆的另一个焦点，再利用椭圆的几何性质，即可求出【详解】解：如图所示：,点就是椭圆的另一个焦点，,即,又，椭圆的标准方程为： ，故选D【点睛】本题考查求椭圆的标准方程和作图能力，充分利用题目所给条件，挖掘基本量的关系，即可求解10
7、.设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）A. 18，24B. 16，22C. 24，28D. 20，26【答案】C【解析】【分析】根据圆心恰好是椭圆两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值【详解】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标为所以，两个圆的半径相等且等于1所以所以选C【点睛】本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题11.已知a是常数，函数f(x)x3 (1a)x2ax2的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数g(x)|ax2|的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
8、】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到，然后利用指数函数的图象平移得答案【详解】由f(x)x3 (1a)x2ax2，得f(x)x2(1a)xa，根据yf(x)的图象知0，a1.则函数g(x)|ax2|的图象是由函数yax的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的，故选D.【点睛】本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题12.对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由，可得， 设，则可设， 则，所以，所以单调递减， 又，所以在单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以，故选D. 点睛：本
9、题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合应用，解答中通过分离参数，构造新函数，利用函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】利用空间直线夹角公式即可得到结果.【详解】，所以与的夹角为.故答案为【点睛】本题考查空间直线所成角的向量求法，考查计算能力，属于基础题.14.设，则二项式展开式中的项的系数为
10、【答案】【解析】【分析】根据微积分基本定理，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】，的通项公式为，系数为故答案为：【点睛】本题考查了微积分基本定理，考查了二项式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.15.已知在上是减函数，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】函数在上是减函数，则两段函数分别递减，且在处满足大于等于此处的右极限.【详解】由题，函数在上是减函数，解得.故答案为：【点睛】此题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，需要注意函数在上单调递减，必须满足每段函数分别递减，且在接点处左极限大于等于右极限.16.如图所示，设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交
11、双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由已知条件推导出直线方程、圆的方程，联立直线方程与圆的方程，解得的表示方法，由，推导出，由此能求出双曲线的离心率【详解】由已知条件推导出直线：，圆的方程为，联立，解得 由， 解得 则 故答案为【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，联立直线方程与圆的方程求出的表示，结合已知条件的角度，运用向量的知识来求解，继而求出双曲线的离心率，本题较为综合三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17
12、.为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米人数；（2）已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，现在从跑步千米数在的跑友中抽取3名代表发言，用表示所选的3人中跑步千米数在的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）60人；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由图可得（2）先求出跑步千米数在的人数，再依题意求出其他区间的人数，可知跑步千米数在的人数为2，跑步千米数在的人数为5，列出分布列求解即
13、可【详解】（1）由频率分布直方图可得跑步千米数不小于70千米的人数为.（2）由频率分布直方图可知，跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为.因为跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为，则跑步千米数在的人数为.所以的所有可能取值为0，1，2，则；.所以的分布列为012故数学期望.【点睛】本题考察的频率分布直方图的识别和超几何分布18.已知函数 ).（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在上是单调减函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出 ,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；(2)求出函数的导数,问题转化为在
14、上恒成立，即在上恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值，即可求得的范围.【详解】（1）当时， 所以切线斜率 又切点为 所以在处的切线方程为 （2）由题意得 因为在上是减函数，所以在上恒成立即在上恒成立. 所以在上恒成立.令 易知在上单调递增， 所以即, 所以.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.19.如图1，在边长为2的正方形中，是边的中点将沿折起使得平面平面，如图2，是折叠后的中点 （）求
15、证：平面；（）求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取中点，根据平行四边形性质可得，再根据线面平行判定定理得平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间相等或互补关系求解.试题解析：（） 证明：取中点，连结，为中点， ， ，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面（）如图示以为坐标原点，建立空间直角坐标系则由已知得，设平面的法向量为则 解得一个法向量为设平面的法向量为则 解得一个法向量为，二面角的平面角的余弦值20.已知从椭圆的一个
16、焦点看两短轴端点所成视角为,且椭圆经过.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数,使直线与椭圆有两个不同交点，且（为坐标原点），若存在,求出的值.不存在,说明理由.【答案】（1）；（2）存在,.【解析】试题分析：（1）根据从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,可得，由椭圆经过可得，联立求解出的值即可求椭圆的方程；（2）由 ,根据韦达定理以及经过两点的直线的斜率公式列出关于的方程求解即可.试题解析：(1）由于从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,得,此时,椭圆方程为又因为经过点,即 椭圆方程为. （2）由 ,由或,设,则 , 即, , 综上可知, 实数存在且.【方法点晴】本题主要考查待定系数法
17、求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行(1)求的值及函数的单调区间；(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小 【答案】（1）a=2,在区间(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增（2）x1x22ln 2【解析】【分析】(1)由导数的几何意义得到，求出a的值，再求函数的单调区间
18、.(2) 令g(x) (x)(2ln 2x)ex4x4ln 2(xln 2)，利用导数得到函数g(x) 在(ln 2，)上单调递增，即(x)(2ln 2x)，不妨设x1ln 2x2，所以(x2)(2ln 2x2)，再证明x1x22ln 2【详解】(1)由，得且f(x)与y轴交于A(0.0) 所以，所以a=2， 所以,由0，得xln 2 所以函数在区间(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增 (2)证明：设xln 2，所以2ln 2xln 2，(2ln 2x)e(2ln 2x)2(2ln 2x)12x4ln 21令g(x) (x)(2ln 2x)ex4x4ln 2(xln 2)，所以
19、g(x)ex4ex40，当且仅当xln 2时，等号成立，所以g(x)(x)(2ln 2x)在(ln 2，)上单调递增 又g(ln 2)0，所以当xln 2时，g(x)(x)(2ln 2x)g(ln 2)0，即(x)(2ln 2x)，不妨设x1ln 2x2，所以(x2)(2ln 2x2)，又因为(x1)(x2)，所以(x1)(2ln 2x2)， 由于x2ln 2，所以2ln 2x2ln 2，因为x1ln 2，由(1)知函数y(x)在区间(，ln 2)上单调递减，所以x12ln 2x2，即x1x22ln 2【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考
20、查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.直角坐标系中曲线参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1），（为参数）；（2）【解析】【分析】（1）利用同角关系及二倍角公式消去参数可得的直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，由直线的标准参数方程可得直线参数方程；（2）把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，利用参数的几何意义，有，代入计算可得【详解】（1） 曲线的直角坐标方程点的极坐标为，化为直角坐标为，直线的参数方程为，即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：，显然有，则，所以23.已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意，有，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，解不等式，取并集即可；（2）利用绝对值三角不等式证明即可详解】（1）解：或，解集 （2）证明：
