1、计时双基练五十四定点、定值、探索性问题A组基础必做1(2015课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点。(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由。解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)。又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0。y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0。故所求切线方程为xya0和xya0。(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意
2、的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2。将ykxa代入C的方程得x24kx4a0。故x1x24k，x1x24a。从而k1k2。当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意。2(2015四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1。(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)。又点P的坐标为(0,1)，且
3、1，于是解得a2，b。所以椭圆E的方程为1。(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。联立方程得(2k21)x24kx20。其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2。从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12。所以，当1时，23。此时，3为定值。当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD。此时，213。故存在常数1，使得为定值3。3(2015山西四校联考)椭圆C：1(ab0)的上顶点为A，P是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F。(1)求椭圆C的
4、方程；(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在？求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由。解(1)由题知F(c,0)，A(0，b)，0，得c2c0，又点P在椭圆C上，所以1，a22，b2c2a22，联立解得，c1，b21，故所求椭圆的方程为y21。(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，代入椭圆方程，消去y，整理得(2k21)x24kmx2m220，(*)因为方程(*)有且只有一个实根，又2k210，所以0，得m22k21。假设存在M1(1,0)，M2(2,0)满足题设，则由d1d21对任意的实数k恒成立，得解得或
5、当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意。综上，在x轴上存在两个定点M1(1,0)，M2(1,0)它们到直线l的距离之积等于1。B组培优演练1.(2015陕西卷)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为。(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2。解(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a。所以椭圆的方程为y21。(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0。由已知0。设P(x1，y1)，Q(x2，y2
6、)，x1x20，则x1x2，x1x2。从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2。2(2016大庆模拟)设抛物线C的方程为x28y，M为直线l：ym(m0)上任意一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B。(1)当M的坐标为(0，2)时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MAMB？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由。解(1)当M的坐标为(0，2)时，设过M的切线方程为ykx2，联立整理得x28kx160，令(8k)24160，解得k1，MAM
7、B，将k1代入方程得x4，可取A(4,2)，B(4,2)，点M到AB的距离为4，过M，A，B三点的圆的圆心为F(0,2)，r4，圆的标准方程为x2(y2)216。又圆心(0,2)到直线l：y2的距离d4r，因此，圆与直线l：y2相切。(2)设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上的点为M(x0，y0)，过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为yy1k(xx1)，yx，kMAy|xx1x1，从而过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为yy1(xx1)，又切线过点M(x0，y0)，y0x0，即x2x0x18y00，同理可得过点B(x2，y2)的切线方程为x2x0x28y00。kMA，kMB，且x1，x2是方徎x22x0x8y00的两实根，x1x28y0，kMAkMB，当y02，即m2时，对直线l上任意点M均有MAMB。当y02，即m2时，MA与MB不垂直。综上，当m2时，直线l上存在无穷多个点M，使MAMB，当m2时，直线l上不存在满足条件的点M。
