1、2.5向量的应用1会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题2会用向量方法解决某些简单的几何问题(重点、难点)基础初探教材整理向量的应用阅读教材P91P92的全部内容，完成下列问题用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形，则有0.()(2)若，则直线AB与CD平行()(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多()【解析】(1)可能0或0，故错误(2)，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误(3)WFs|F|s|cos ，故错误【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑
2、问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型向量在物理中的应用如图251所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小图251【精彩点拨】解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则【自主解答】如图，作平行四边形OACB，使AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，OAC90.|cos 30300150(N)，|sin 30300150(N)故与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.1解力向量题时，
3、依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成2解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型再练一题1已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功【解】(1)(13，15)，W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)力F1，F2对质点所做的功分别为99 J和3 J.(2)WF(F1F2)(3,4)
4、(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(J)合力F对质点所做的功为102 J.向量在平面几何中的应用如图252所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE. 【导学号：06460066】图252【精彩点拨】法一，选取基底，并证明0.法二，建立平面直角坐标系证明0.【自主解答】法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20，故，即AFDE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，
5、2)220，所以，即AFDE.用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路：(1)向量的线性运算法：(2)向量的坐标运算法：但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用再练一题2如图253，已知O为ABC所在平面内一点，且满足|2|2|2|2|2|2，求证：O为ABC的垂心图253【证明】设a，b，c，则cb，ac，ba，由题设：|2|2|2|2|2|2，化简：a2(cb)2b2(ac)2c2(ba)2，得cbacba，从而(ba)cbcac0，.同理，所以O为ABC的垂心探究共研型平面向量在解析几何中的应用探究1如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a(1，k)平
6、行的直线l的方程？【提示】设直线l上任意一点P(x，y)，则(xx0，yy0)由题意可知a，yy0k(xx0)探究2如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a(1，k)垂直的直线l的方程？【提示】设直线l上任意一点P(x，y)，则(xx0，yy0)由题意可知a，(xx0)k(yy0)0.已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程【精彩点拨】(1)先求出D，E，F的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解【自主解答】(1)由已知得点D(1,1)，E(
7、3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)，(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则，0.又(x6，y2)，(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.再练一题3已知点A(2，1)(1)求过点A与向量a(5,1)平行的直线方程；(2)求过点A与
8、向量a(5,1)垂直的直线方程【解】(1)设所求直线上任一点P(x，y)，则(x2，y1)由题意知a，即(x2)5(y1)0，即x5y70.故过点A与向量a(5,1)平行的直线方程为x5y70.(2)设所求直线上任一点P(x，y)，则(x2，y1)由题意知，a，即a0，即5(x2)(y1)0，即5xy90.故过点A与向量a(5,1)垂直的直线方程为5xy90.构建体系1已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4_.【解析】由题意知f4(f1f2f3)(2，1)(3,2)(4，3)(1，2)(1,2)【答案】(1,2
9、)2飞机以300 km/h的速度向上飞行，方向与水平面成30角，则飞机在水平方向的分速度大小是_km/h.【解析】由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300cos 30150(km/h)【答案】1503在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3,1)，(2，k)，则实数k_. 【导学号：06460067】【解析】如图所示，由于(3,1)，(2，k)，所以(1，k1)在矩形中，由得0，所以(3,1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得k4.【答案】44过点A(3，2)且垂直于向量n(5，3)的直线方程是_【解析】设P(x，y)为直线上的任意一点，(x3，y2)，n，5(x3)3(y2)0，即5
10、x3y210.【答案】5x3y2105如图254，已知AB是O的直径，点P是O上任一点(不与A，B重合)，求证：APB90.(用向量方法证明)图254【证明】连结OP，设向量a，b，则a且ab，ab，b2a2|b|2|a|20，即APB90.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二十三)向量的应用(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知一物体在共点力F1(2,2)，F2(3,1)的作用下产生位移s，则共点力对物体所做的功为_【解析】对于合力F(5,3)，其所做的功为WFs7.【答案】72若A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则ABC的形状为_【解析
11、】(1,1)，(3,3)，0，即，故ABC为直角三角形【答案】直角三角形3点P在平面上做匀速直线运动，速度v(4，3)，设开始时点P的坐标为(10,10)，则5秒后点P的坐标为_(速度单位：m/s，长度单位：m)【解析】5秒后点P的坐标为(10,10)5(4，3)(10，5)【答案】(10，5)4.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个物体，如图255，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是_图255【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】10 N5点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的_【解析】
12、由，可得0，()0，即0，同理可证，.所以O是ABC的垂心，即三条高的交点【答案】垂心6等腰直角三角形ABC中，C90，且A(1,2)，C(1,1)，则B的坐标为_【解析】设B的坐标为(x，y)，则(x1，y1)，又(2，1)由题意知：|，且0，解得或【答案】(0，1)或(2,3)7如图256，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，则对角线AC的长为_ 【导学号：06460068】图256【解析】，2222，又，2222，得222(22)又AD1，AB2，BD2，AC.【答案】8当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为|F|，若|F|G|，则的值为_【解析】
13、如图，|F1|F2|.|F1|F2|G|，2cos 1，120.【答案】120二、解答题9如图257所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：ACBD.图257【证明】，()()|2|20.ACBD.10已知圆C：(x3)2(y3)24及点A(1,1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程【解】设N(x，y)，M(x0，y0)因为2，所以(1x0,1y0)2(x1，y1)，所以即又因为点M(x0，y0)在圆C：(x3)2(y3)24上，所以(x03)2(y03)24，所以(2x)2(2y)24，即x2y21，所以点N的轨迹方程为x2y
14、21.能力提升1在四边形ABCD中，若，且|，则四边形ABCD的形状是_【解析】，且|，四边形ABCD是平行四边形，|，|，|，平行四边形是矩形【答案】矩形2已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，且|AB|，则_.【解析】如图，在AOB中，|AB|，|OA|OB|1，AOB120，|cos 120.【答案】3若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_【解析】以，为邻边的平行四边形的面积为：S|sin |sin ，所以sin ，又因为|1，所以，即sin 且0，所以0.【答案】4在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的角平分线的方程【解】(3,4)，(8,6)，A的角平分线的一个方向向量为：.设A的角平分线上任一点N(x，y)，则(x4，y1)，则与所求方向向量平行，所求直线方程为：(x4)(y1)0，整理得7xy290.
