1、第三章质量评估(A)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=12x-3的定义域是()A.0,32B.32,+C.-,32D.32,+答案:D2.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7) 的值为()A. 15B.17C.-17D. 31答案:D3.已知函数y=ax和y =-bx在区间(0,+)上都是减函数,则f(x)=bx+a是()A.增函数,且f(0)0B.增函数,且f(0)0D.减函数,且f(0)0对任意x1,+)恒成立,则a的取值范围是(
2、)A. (-,3B.(3,+)C.(-,3)D.3,+)答案:C5.若奇函数f(x)在区间1,3上单调递增,且有最小值0,则它在区间-3,-1上()A.单调递减,有最小值0B.单调递增,有最小值0C.单调递减,有最大值0D.单调递增,有最大值0答案:D6.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-,-3B.-3,+)C.(-,5D.3,+)答案:A7.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x15(7+3t-2t2)(tZ)是偶函数,且在区间(0,+ )上单调递增,则实数t的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1答案:D8.若函数f(x)
3、=cx2x+3x0,且x-32满足f(f(x)=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数f(x)=x,x0,x2,xf(1),则下列各式一定成立的是()A.f(-1)f(3)C.f(2)f(0)D.f(1)f(-4)答案:AD11.偶函数y=f(x)的部分图象如图所示,根据图象所给的信息,下列结论正确的是()A.函数f(x)一定有最小值B.f(-1)-f(2)=0C.f(-1)-f(2)0答案:CD12.某工厂生产某
4、产品x t所需费用为P元,而卖出的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150 t时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45B.a=30C.b=45D.b=-30答案:AD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数y=x+3,x0.16.已知函数f(x)=|x|,x0,-x2-2x+1,x0.若f(x)+2m=0有三个根,则实数m的取值范围是-1,-12.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x
5、)=x2-2x.(1)画出偶函数f(x)的大致图象,并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间;(2)当直线y=k(kR)与函数y=f(x)的图象恰有4个交点时,求k的取值范围.解:(1) 大致图象如图,单调递增区间为-1,0,1,+).(2) 由图象可知,当-1k0时,直线y= k(kR)与函数y=f(x)的图象恰有4个交点.18.(12分)已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(kZ)满足f(2)f(3).(1)求实数k的值,并写出函数f(x)的解析式.(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间0,1上的最大值为5.若存在
6、,求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(1)对于幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)满足f(2)0,解得-1k0,所以抛物线开口向下,对称轴方程为x=2m-12m=1-12m0,g1-12m=5或1-12m0,g(0)=5,解得m=52+6,且满足题意.19.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,有f(x)=4xx+4.(1)判断函数f(x)在区间0,+)上的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的解析式(写成分段函数的形式).解:(1)f(x)=4xx+4在区间0,+)上单调递增.证明:设x1x20,则f(x1)-f(x2)=4x1x1+4-4x2x2+4=16(
7、x1-x2)x1x2+4(x1+x2)+16,又x1x20,所以x1-x20,x1x20,x1+x20,所以16(x1-x2)x1x2+4(x1+x2)+160.则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)=4xx+4在区间0,+)上单调递增.(2)因为当x0时,有f(x)=4xx+4,而当x0.所以f(-x)=-4x-x+4=4xx-4=f(x),即f(x)=4xx-4(x0).所以f(x)=4xx+4,x0,4xx-4,x0.20.(12分)共享单车是城市交通出行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车
8、受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的销售额(单位:元)满足分段函数h(x),其中h(x)=400x-12x2,0400,x是新样式单车的月产量(单位:辆),利润=销售总额-总成本.(1)试将自行车厂的利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:辆)的函数;(2)当月产量为多少辆时,自行车厂的利润最大?最大利润是多少?解:(1)依题设,总成本为20 000+100x,则y=-12x2+300x-20000,0400,且xN.(2)当0400时,y=60 000-100x是减函数,则ymax0,(-a)2+(a-3)(-a)+10.解得a5,且a-13.因此存在a-,-13-13,1(5,+)使得函数f(x)=3x-1x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点.(2)证明:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.因此(0,0)是f(x)的一个稳定点.假设函数还有稳定点(x0,x0),即f(x0)=x0,则必定有f(-x0)=-x0.这说明(-x0,-x0)也是函数的稳定点.故奇函数f(x)的稳定点除原点外,若还有稳定点,则稳定点是成对出现的.综上所述,函数f(x)必有奇数个稳定点.
