1、随时训练56 数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明“(a1,nN*)”在验证n=1成立时,左边计算所得项是( )A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析：当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2.答案：C2.用数学归纳法证明不等式“成立”，则n的第一个值应取( )A.7 B.8 C.9 D.10解析：，要使成立，应有n7.答案：B3.已知,则( )A.f(n)中共有n项，当n=2时，B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，C.f(n)中共有n2-n项，当n=2时，D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，解析：f(n)的项数为n2-n+1，当n=2时，.
2、答案：D4.用数学归纳法证明“对一切nN*，都有2nn2-2”这一命题，证明过程中应验证( )A.n=1时命题成立 B.n=1,n=2时命题成立C.n=3时命题成立 D.n=1,n=2,n=3时命题成立解析：假设n=k时不等式成立，即2kk2-2,当n=k+1时，2k+1=22k2(k2-2),由2(k2-2)(k+1)2-2k2-2k-30(k+1)(k-3)0k3.因此需验证n=1,2,3时命题成立.答案：D5.已知数列an的各项均为自然数,a1=1,且它的前n项和为Sn,若对所有的正整数n,有Sn+1+Sn=(Sn+1-Sn)2成立,通过计算a2,a3,a4,然后归纳出Sn( )A. B
3、. C. D.解析：由已知,得,两式相减,得.an+1-an=1,即an是等差数列,公差d=1.a2=2,a3=3,an=n.答案：A6.证明(nN*),假设n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项 B.k-1项 C.k项 D.2k项解析：当n=k时,不等式左端为;当n=k+1时,不等式左端为,增加了项,共有(2k+1-1)-2k+1=2k项.答案：D7.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时,第一步验证n等于( )A.1 B.2 C.3 D.0解析：边数为n的初始值是3.答案：C8.设函数f(n)=(2n+9)3n+1+9,当nN*时，f(n)能被m(mN*)整除，猜
4、想m的最大值为( )A.9 B.18 C.27 D.36解析：由f(n+1)-f(n)=363n-1(n+6)知m的最大值为36.答案：D9.已知数列an中，a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证( )A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除解析：当n=k+1时，应证a4(k+1)=a4k+4成立.答案：D10.上一个n级的台阶,若每次可上一级或两级,设上法的总数为f(n),则下列猜想中正确的是( )A.f(n)=n B.f(n)=f(n-1)+f(n-2)C.f(
5、n)=f(n-1)f(n-2) D.解析：当n=1时，只有一种上法,即f(1)=1,当n=2时可分为两类：若每次仅上一层,有一种上法,若每次上两层,也只有一种上法,由加法原理,得f(2)=2.当n3时,可分为两类：若第一次仅上一层,则剩余的n-1层台阶的上法种数为f(n-1);若第一次上两层,则剩余的n-2层台阶的上法种数为f(n-2).由加法原理,得f(n)=f(n-1)+f(n-2).答案：D二、填空题11.观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10设第n行的各数之和为Sn,则_.解析：第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=5
6、2,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n行的各数之和Sn=(2n-1)2,.答案：412.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2(nN*)”时，第一步的验证为_.答案：当n=1时，左边=21+1=4,右边=12+1+2=4，左边=右边，不等式成立13.用数学归纳法证明不等式的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是_.解析：不等式的左边增加的式子是,故填.答案：14.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,),则第n-2个图形中共有_个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2)；第二个图形有(2+2)2+(
7、2+2)=42+4；第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5；第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n2+n个顶点.答案：n2+n三、解答题15.已知数列an前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3,并推测通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.(1)解：,猜想：.(2)证明：当n=1时，,命题成立.假设n=k时,命题成立，则,当n=k+1时,a1+a2+ak+2ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+ak=2k+1-ak,2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3.,即当n=k+1时,命题成立.由知对于任意nN*猜想成
8、立 .16.数列an中,a1=2,试证：(nN*).证明：(1)n=1时,a1=2,显然成立.又a10,an0成立.(2)假设n=k时,成立.当n=k+1时,ak0且,;又,且,即,n=k+1时命题成立.综上,对任意的nN*有.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解：由f(n)=(2n+7)3n+9,得f(1)=36,f(2)=336,f(3)=1036,f(4)=3436.由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时,显然成立.(2)假设
9、n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除;当n=k+1时,2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除,m的最大值为36.【例2】用数学归纳法证明(nN*).证明：(1)当n=1时,左边=,命题成立.(2)假设n=k时,不等式成立,即成立.则当n=k+1时,又,当n=k+1时，命题成立.综上,命题得证.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
