1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二数学下学期第四学月考试试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则复数等于( )A. B. C. D. i【答案】D【解析】【分析】把给出的等
2、式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解.【详解】,.故选:D.【点睛】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题.2.若6名男生和9名女生身高（单位：）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为( )A. 179，168B. 180，166C. 181，168D. 180，168【答案】C【解析】【分析】根据平均数和中位数的定义即可得出结果.【详解】6名男生的平均身高为,9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位数为168.故选:C.【点睛】本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难
3、度容易.3.设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点的斜率问题,结合图形可得答案.【详解】画出满足条件得平面区域,如图所示: 目标函数的几何意义为区域内的点与的斜率，过与时斜率最小,过与时斜率最大，故选:A.【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数取值范围问题,解题关键是转化为斜率,难度较易.4.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3若从图中任选
4、一点，则该点恰在阴影区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据几何概型计算得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.5.已知实数，满足条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到的取值范围.【详解】解：由得，作出实数，满足条件对应的平面区域，如下图所示：平移直线，由图象可知当直线经过点时，值最小.由，解得，由，解得，.故选：A.【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合的方法，属于基础题.6.若函数在上单调递
5、增，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知：函数，函数f（x）在上单调递增，则说明在上恒有，转换为一元二次函数问题解答即可.【详解】解：由题意知：函数则，函数f（x）在上单调递增，则说明在上恒有；所以有，即：，解得： 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用导数判断含有参数的函数单调性以及一元二次函数的图形特征等知识点，属中等题.7.已知直线与圆相交所得的弦长为，则圆的半径（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】根据题意：圆心到直线的距离，故，解得.故选：.【点睛】本题考查了
6、根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.椭圆上的点到直线的距离的最小值为( )A. B. C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】设P（ cos，sin），02，求出P到直线2xy80 的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值【详解】椭圆4x2+y22，P为椭圆上一点，设P（ cos，sin），02，P到直线2xy80 的距离：d，当且仅当cos（）1时取得最小值点P到直线2xy80的距离的最小值为dmin故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用9.已知抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点A，点在曲线C上，则（
7、）A. 3pB. 3C. 4pD. 4【答案】D【解析】【分析】过作准线的垂线,再根据抛物线的几何性质以及列式计算即可.【详解】过作准线的垂线,交准线与,则根据抛物线的性质有,又.故.又,故,故.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的性质运用,属于基础题.10.已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.【详解】设，则，两式相减并化简得，即,由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.故选：D.【点睛】本小题主要考
8、查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.11.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.12.已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定
9、成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】解：，在上是偶函数.函数，令，则，函数在上单调递增，函数在上单调递增.，.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若双曲线的一条渐近线方程为，则_.【答案】【解析】分析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的一条渐近线方程为，可得 ，从而得到的值.【详解】双曲线的渐近线方程为.由由双曲线的一条渐近线方程为，即
10、所以，即 故答案为：【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线方程求参数的值,属于基础题.14.函数在处的切线与直线垂直，则实数_.【答案】【解析】【分析】求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程即可得到所求值.【详解】解：函数的导数为，可得在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查运算能力，属于基础题.15.若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求导，方程在上有根求出的范围，根据韦达定理即可化简，根据的范围即可求出【详解】解
11、：定义域是，存在极值，在上有根，即方程在上有根设方程的两根为，即，故函数的极值之和的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题16.已知球的球面上有四点、，其中、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为_【答案】【解析】分析】由于面面，所以点在平面上的射影落在上，根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大，棱锥的体积最大【详解】解：由题意画出几何体的图形如图，平面平面，点在平面上的射影落在上，根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大，棱锥的体积最大是
12、边长为2的正三角形，球的半径在中，求得，体积故答案为：【点睛】本题主要考查锥体的体积，根据几何体的结构特征确定出点的位置是本题关键，考查空间想象能力、计算能力，属于中档题三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.某校学生会为了解该校学生对2017年全国两会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类已知这200名学生中男生比女生多20人，对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对两会“不太关注”
13、的学生中男生比女生少5人（1）根据题意建立列联表，并判断是否有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？（2）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人进行回访，求这2人全是男生的概率参考公式和数据：，其中【答案】（1）没有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异；（2）【解析】【分析】（1）“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为,构造方程求得列联表数据，依据公式计算得到的观测值，可知无的把握；（2）通过分层抽样确定抽取的男女生人数，再列举出所有可能的结果，根据古典概型得到结果.【详解】（1）由这名学生中男生比女生多人，可得男生人数为，
14、女生人数为，设男生中“不太关注”的人数为，则男生中“比较关注”的人数为，由“不太关注”的学生中男生比女生少人，可得女生中“不太关注”的人数为，则女生中“比较关注”的人数为，由“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，可得，解得，则列联表如下：比较关注不太关注合计男生女生合计则的观测值，所以没有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异（2）由题意得男生抽人、女生抽人，记这名男生分别为，名女生分别为则所有的可能情况为，共种，其中人全是男生的有，共种，故所求概率【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样和古典概型问题，文科数学主要考查利用列举法解决古典概型问题，属于基础题.18.已知函数求的单调区间；若
15、在区间上恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求的单调区间；若在区间上恒成立，则只需求出的最大值即可，求实数a的取值范围【详解】，由得，当时，在或时 ，在时，的单调增区间是和，单调减区间是；当时，在时，的单调增区间是；当时，在或时，在时的单调增区间是和，单调减区间是由可知在区间上只可能有极小值点，在区间上的最大值在区间的端点处取到，即有且，解得即实数a的取值范围是【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键19.如图，在四棱锥中，平面，
16、与平面所成的角为（1）求证：平面平面；（2）若于，为的中点，求三棱锥的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由线面角定义可得，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用线面垂直的判定和性质可得，在直角三角形中，运用射影定理可得，再由三棱锥的体积公式，计算可得所求值【详解】（1）证明：平面，与平面所成的角为，即有，又，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：由平面，可得，又，可得平面，即有，在直角三角形中，由，可得，【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查棱锥的体积求法，注意运用线面垂直的判定定理和转化思想，考查推理能力，属于中档题20.已知椭
17、圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T（）求椭圆的方程及点的坐标；（）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值【答案】（），点T坐标为（2,1）；（）.【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y得关于x的方程有两个相等的实数根，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（）由已知，则椭圆E的方程为.由方
18、程组得.方程的判别式为，由，得，此时方程的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.（）由已知可设直线的方程为，由方程组可得所以P点坐标为（），.设点A，B的坐标分别为.由方程组可得.方程的判别式为，由，解得.由得.所以，同理，所以.故存在常数，使得.【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程21.已知函数
19、.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导函数，分和讨论，结合函数的定义域，可得到函数的单调区间.(2) 当时，由（1）得，,即证明当时，设，求导讨论出函数的单调性，求出其最小值，即可证明.【详解】解：（1）函数的定义域是，（i）若，当时，当时，故在递增，在递减，（ii）若，当时，当时，故在递增，在递减；（2）当时，由（1）得，令，设，则，当时， 当时， 故在递增，在递减，故，故时，成立【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性和利用导数证明不等式,属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，
20、则按所做的第一题计分.22.如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.【答案】（1）线的极坐标方程为：，的极坐标方程为：，的极坐标方程分别为：，；（2），.【解析】【分析】（1）在极坐标系下，在曲线上任取一点，直角三角形中，曲线的极坐标方程为：，同理可得其他.（2）当时，当，计算得到答案.【详解】（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，则在直角三角形中，得：.所以曲线的极坐标方程为：又在曲线上任取一点，则在中，由正弦定理得：， 即：，化简得的极坐
21、标方程为：同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）由题意可知，的直角坐标方程为：，所以，的极坐标方程为：，（2）当时，当时，所以点的极坐标为，【点睛】本题考查了极坐标的计算，意在考查学生对于极坐标的理解和计算能力.23.设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决【详解】（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号属于中等题
