1、江苏省镇江中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质得到答案.【详解】1，a，9成等差数列，故，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取（ ）名学生A. 10B. 15C. 20D.
2、25【答案】B【解析】试题分析：用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取容量为的样本，则从高二年级抽取，故选B考点：分层抽样3.若展开式中常数项为60.则常数a的值为（ ）A. 4B. 2C. 8D. 6【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到，解得答案.【详解】展开式的通项为：.取得到常数项为，解得.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.设双曲线C以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到双曲线中，得到答案.【详解】椭圆长轴的两个端点为，椭圆的焦点
3、为.故双曲线中，故双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5.已知等比数列的公比大于1，则（ ）A. 2B. C. 或4D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意，解得，得到答案.【详解】，且，解得.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.6.若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）A. 3B. C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设，则，解得，故，计算得到答案.【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.点M到该抛物线焦点的距离为.故选：.【点睛】本题考查了抛物线
4、中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ）A. 36B. 72C. 600D. 480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个.故选：.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知，是椭圆的左，右焦点，若满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，故的轨迹为以为直径的圆，即，根据题意得到，计算得到离心率范围.【详解】，故的轨迹为以为直径的圆，即.点M总在椭
5、圆内部，故，即，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围，确定的轨迹方程是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.如图是导数的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（ ）A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上是增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极小值.【答案】BC【解析】【分析】根据图像得到，时，函数单调递减，时，函数单调递增，再依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.故错误；故当时，取得极小
6、值，正确；正确；当时，不是取得极小值，错误；故选：.【点睛】本题考查了根据导函数图像判断函数单调性，极值，意在考查学生的应用能力和识图能力.10.在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（ ）A. 曲线E经过坐标原点B. 曲线E关于x轴对称C. 曲线E关于y轴对称D. 若点在曲线E上，则【答案】BC【解析】【分析】设，根据得到，（），再依次判断每个选项得到答案.【详解】设，则，则，（）. 故轨迹为焦点在轴上的双曲线去除顶点.故曲线不经过原点，错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，正确；若点在曲线E上，则或，错误；故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，曲线
7、对称问题，意在考查学生的综合应用能力.11.直线能作为下列（ ）函数的图像的切线.A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】依次计算每个选项中的导数，计算是否有解得到答案.【详解】，故，无解，故排除；，故，故，即曲线在点的切线为，正确；，故，取，故曲线在点的切线为，正确；，故，故，曲线在点的切线为，正确；故选：.【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力.12.对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（ ）A. 3B. 2C. 7D. 5【答案】AD【解析】【分析】计算到，根据“谷值点
8、”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，.故，不是“谷值点”；，故是“谷值点”；，故是“谷值点”；，不是“谷值点”.故选：.【点睛】本题考查了数列新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的单调减区间是_【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得
9、的范围，可得函数的减区间.14.已知向量，若，则实数m的值是_.若，则实数m的值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直接根据向量的平行和垂直公式计算得到答案.【详解】，若，则，解得；若，则，解得.故答案：和.【点睛】本题考查了根据向量的平行和垂直求参数，意在考查学生的计算能力.15.已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=_【答案】【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为点评：本题考查离散型随
10、机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力16.已知曲线在处的切线与y轴交点的织坐标为，其中，则数列的前50项和的值为_.【答案】【解析】【分析】求导得到，根据切线公式得到切线方程，故，再计算前50项和得到答案.【详解】，则，故，故切线方程为：，取，得到.，前50项和为.故答案为：.【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在的展开式中，（1）求第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）求展开式中的系数.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）计算通项式为，再
11、计算第5项的二项式系数及第5项的系数得到答案.（2）取得到，代入二项式的通项计算得到答案.【详解】（1）的展开式的通项为：，第5项的二项式系数为：；第5项的系数为：.（2）取解得，故的系数为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.设函数的图象与直线相切于点.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值；【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求导得到，根据，解方程得到答案.（2），得到函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，计算极值和端点值，比较大小得到答案.【详解】（1），根据题意，解得，.故.（2），取，解得，.故函数在上单
12、调递增，在上单调递减，在上单调递增.，.故函数的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了函数的切线问题，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.设数列an是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且a1，a2，a4 成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列的前项和Tn 【答案】（1）（2）Tn【解析】试题分析：（1）由等差数列的求和公式代入已知条件可得d的值，进而可得a1的值，可得通项公式；（2）可得,裂项相消法可得其和试题解析：（1）设数列an的前项和为，S10= 110，则a1，a2，a4 成等比数列，即d 0，a1 = d由，解得，（2）=，考点：等差数列的通项
13、公式和求和公式，裂项相消法求数列的和.20.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，.（1）求x的值，并估算该班此次期中考试数学成绩的平均分；（2）从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩在数为，求的数学期望.【答案】（1），平均分为；（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为计算得到，再计算平均值得到答案.（2）的可能取值为：，根据计算概率，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）根据题意：，解得，平均分：.（2）成绩不低于80分的学生共有人，成绩在的人数为人.的可能取值为：，故，.故.【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，数学期望，意在考
14、查学生的计算能力和应用能力.21.如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，其中，点E是线段的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角正弦值为，求点的位置.【答案】（1）；（2）为的中点【解析】【分析】（1）如图所示，以为建立空间直角坐标系，故，计算夹角得到答案.（2）设平面的法向量为，设，故，设平面的法向量为，根据二面角的正弦值为计算得到答案.【详解】（1）侧棱底面，底面为正方形，故以为建立空间直角坐标系，如图所示.，故，.设异面直线与所成角大小为， ，故，即异面直线与所成角为.（2）设平面的法向量为，则，即，取，则；设，故，故，设平面的法向量为，则，即，取
15、，则；二面角的正弦值为，故，解得.故,即为的中点.【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求参数，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，若圆的一条切线（斜率存在）与椭圆C有两个交点A，B，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）求圆O的标准方程；（3）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且，求直线MN的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据离心率得到，代入点得到，计算得到答案.（2）设切线方程为，联立方程得到，根据得到，计算圆心到直线的距离得到答案.（3），设，根据得到，代入椭圆得到，得到直线方程.【详解】（1）椭圆的离心率为，点在椭圆上，故，解得，即.（2）设切线方程为，则，化简得到，故，代入化简得到：，验证满足.故，故圆方程为.（3），设，即，故，代入椭圆方程：，化简，故，即，故.【点睛】本题考查了椭圆方程，圆的方程，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
