1、湖南省娄底市2020届高三数学模拟考试试题 文（含解析）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）.A. 第一象限B.
2、第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,复数在复平面内对应的点位于第一象限,选A.2.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意解得,再由集合并集的概念即可得解.【详解】由，.故选:B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解和集合并集的运算,属于基础题.3.函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求函数值判断,即可求解.【详解】在区间上是增函数，且，的零点.故选:C.【点睛】本题考查函数零点存在性定理,熟记定理应用的条件是关键,属于基础题.4.已知向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不
3、充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示,可得,简单计算,可得结果.【详解】，或.当时，命题成立，反之，当时，不一定成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示以及计算,同时考查了充分、必要条件,识记概念与计算公式，属基础题5.设双曲线C：的两条渐近线的夹角为，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，可知,利用二倍角公式,即可求解.【详解】双曲线C：的两条渐近线为：，.故选:A.【点睛】本题主要考查了
4、双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用,属于基础题.6.已知等差数列的前n项和为，则数列的前2020项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知可求出等差数列的首项和公差,进而求得,则,根据裂项求和即可得出结果.【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由,，.，数列的前2020项和.故选:C.【点睛】本题考查等差数列通项和求和公式中基本量的计算,考查裂项相消求数列的和,难度一般.7.为了改善市民的生活环境，某沿江城市决定对本市的1000家中小型化工企业进行污染情况摸排，并把污染情况综合折算成标准分100分，如图为该市被调查的化工
5、企业的污染情况标准分的频率分布直方图，根据该图可估计本市标准分不低于50分的企业数为（ ）A. 400B. 500C. 600D. 800【答案】B【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率=小矩形的高组距,计算出50分以上的频率,再根据频数=频率样本容量,求得结果.【详解】根据频率分布直方图经计算得50分以上的频率为,所以本市标准分不低于50分的企业数为500家.故选:B.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频数=频率样本容量的应用问题,属于基础题.8.已知函数（且），则关于x不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】先证明为偶函数,在
6、上是增函数,且,已知不等式可转化为,只需满足,计算解得对数不等式即可得出结果.【详解】根据题意，函数f（x）ax+ax，其定义域为R，又由f（x）ax+axf（x），即函数f（x）为偶函数，又由f（x）（axax）lna，若a1，当x0，+）时，axax0且lna0，此时f（x）0，若0a1，当x0，+）时，axax0且lna0，此时f（x）0，则当x0，+）时，都有f（x）0，即函数f（x）在0，+）上为增函数，可得（，）为偶函数且在上是增函数,，即，或，解得或.即.故选:B.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性在解不等式中的应用,考查对数不等式的解法,难度一般.9.如图所示是某几何体的三视
7、图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体,观察可知几何体为正四棱锥,由正四棱锥性质,找到外接球的球心,根据勾股定理,计算即可求得正四棱锥体的外接球的半径,最后求出球的表面积.【详解】由三视图可知该几何体是一个底面边长为2，高为的正四棱锥.设其外接球的球心到底面的距离为d，半径为R，则，解得，.其外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题,考查学生的空间想象能力,属于中档题.10.已知椭圆E：（）的左焦点为F，A、B两点是椭圆E上关于y轴对称的点，若
8、能构成一个内角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设椭圆E的右焦点为，连接,由图可知,四边形为等腰梯形,计算可得，,因为,借助正弦定理可知,计算即可得出结果.【详解】设椭圆E的右焦点为，连接，则四边形为等腰梯形，其中，是一个内角为的等腰三角形，在焦点三角形中，即椭圆E的离心率为.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义及性质,考查利用正弦定理求解离心率,考查学生分析问题的能力,属于中档题.11.已知函数（）在区间上不是单调函数，且其值域为，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简可知.由,借助三角函数
9、的图象和性质可知,化简即可得出结果.【详解】.又在上的值域为且，.故选:B.【点睛】本题考查三角函数解析式的化简,考查正弦型函数的图象和性质,难度一般.12.已知函数的导函数为，且满足当时，；若，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，当时，在递减，而，是奇函数，在递减，若，则，即，故选C.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知某市的1路公交车每10分钟发车一次，小林到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过4分钟的概率是_.【答案】【解析】【分析】由几何概型中的长度型,利用长度之比,计算即可得出结果
10、.【详解】当小林在上一辆车走开后6分钟内到达，候车时间会超过4分钟，则小林候车时间不超过4分钟的概率为.故答案为: .【点睛】本题考查几何概型中的长度型,属于基础题.14.已知实数x，y满足，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域,由目标函数的几何意义,利用数形结合思想可求得的取值范围.【详解】画出x，y满足的区域图，易知表示该区域内的点与点连线的直线的斜率，联立解得即则.故答案为: .【点睛】本题考查线性规划中分式型目标函数的取值范围的求解,解题时要结合目标函数的几何意义,利用数形结合思想求解,属于中等题.15.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是等边三角形，
11、且平面平面，E为棱上一点，若平面平面，则_.【答案】【解析】分析】取的中点O,连接交于F点,由已知可得平面,由只需满足则平面平面.根据,即可求得结果.【详解】取的中点O，连接交于F点，.平面平面，平面,在中,当,平面,则有平面平面，.故答案为: .【点睛】本题考查面面垂直的性质,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,难度一般.16.如图所示，在四边形中，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求得,由已知可得A，B，C，D四点共圆,根据“同弧圆周角相等”原理,则有,设,则,由余弦定理可得,借助重要不等式化简即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理得：，.由已知条件可知A，B，C，D
12、四点共圆，根据“同弧圆周角相等”原理，又在中设，则，.所以.故答案为:.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查利用重要不等式求取值范围问题,难度一般.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在四棱锥中，平面平面，且.（1）求证：；（2）过作截面与线段交于点H，使得平面，试确定点H的位置，并给出证明.【答案】（1）证明见解析；（2）H为线段上靠近点P的五等分点，理由见解析.【解析】【分析】(1)连接交于点E,由已知可证得,即得到,由于
13、平面平面,可证得平面,进而证得结论;(2) 由，易知,由于平面,可证得,根据对应边成比例可知,即可证得H为线段上靠近点P的五等分点.【详解】（1）连接交于点E，则，平面平面，平面平面，平面，又平面，.（2）由，易知.，又平面，平面平面，即H为线段上靠近点P五等分点，即.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定,线面平行的性质定理,难度一般.18.已知数列满足，且（，）.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 两边同除以,得，,化简即可证得结论;(2) 由(1)知,构造可得,进而可知,即可求得,由,可知,则,即可得出
14、结果.【详解】（1）当且时，在两边同除以，得，为常数，且所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）设数列的前n项和为，由（1）知，又由，所以.【点睛】本题考查由递推关系证明等比数列,考查递推公式在求数列通项中的应用,考查累加求和的应用,难度一般.19.已知过点的直线l：与抛物线E：（）交于B，C两点，且A为线段的中点.（1）求抛物线E的方程；（2）已知直线：与直线l平行，过直线上任意一点P作抛物线E的两条切线，切点分别为M，N，是否存在这样的实数m，使得直线恒过定点A？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在实数使得命题成立【解析】【分析】(1)直线方程与抛物线
15、方程联立,借助韦达定理即可求得,得出抛物线方程;(2)设M，N点的坐标分别为，直线上任意一点,由,利用导数的几何意义可得点M处的切线方程和点N处的切线方程,由都满足上述两个方程,即有可得直线的方程即为:,点代入即可得出存在实数使得命题成立.【详解】（1）由，依题意，.故抛物线E的方程为：.（2）设M，N点的坐标分别为，直线上任意一点，由，可得点M处的切线的方程为：，点N处的切线的方程为：都满足上述两个方程，直线的方程为：，直线恒过定点，得，故存在实数使得命题成立.【点睛】本题考查求解抛物线方程,考查直线和抛物线的关系,考查恒过定点求解参数问题,难度较难.（二）选考题：共10分.请考生在22、2
16、3两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.20.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如
17、下：电动自行车每辆补助300元；电动汽车每辆补助500元；对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据频数图，利用分层抽样得电动自行车应抽取4辆，电动汽车应抽取5辆，再利用古典概型和对立事件求得：至少有一辆为电动汽车的概率为；（2）由频数图，计算样本中100辆电动车共补助元，算出每辆电动车平均需补助的钱乘以可得估计出市政府执行此方案的预算【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取（辆），电动汽车应抽取（辆）.从9辆电动车中抽取2辆，设电动汽车和电
18、动自行车分别为，可得抽法总数为36种，其中2辆均为电动自行车的有,共6种.“设从这9辆中随机抽取2辆，至少有一辆为电动汽车”为事件，则.（2）由条件可知，这100辆电动车中电动自行车60辆，电动汽车40辆，其中电池需要更换的电动自行车8辆，电动汽车1辆.根据补助方案可知，这100辆电动车共补助（元）.由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要（元）.即为所求.【点睛】本题考查从图中抽取数据信息、古典概型计算概率、样本估计总体思想，考查基本数据处理能力21.已知函数（）.（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调递减区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】试题
19、分析：（1）求出函数的导数，计算g（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x（0，），a2恒成立，令l（x）=2，x（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可试题解析：（1）g（x）=（3a）x（2a）2lnx，g（x）=3a，g（1）=1a，又g（1）=1，1a=1，解得：a=2，由g（x）=32=0，解得：0x2，函数g（x）在（0，2）递减；（2）f（x）0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x（0，），f（x）0恒成立，即对x（0，），a2恒成立，令h（x）=2，x（0，），则h（x）=，再令m（x）=2，x（0，），则m（x
20、）=0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）m（）=22ln20，从而h（x）0，于是h（x）在（0，）递增，h（x）h（）=24ln2，故要使a2恒成立，只要a24ln2，+），综上，若函数y=f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值是24ln2（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：，倾斜角为锐角的直线l过点与单位圆相切.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值
21、.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)已知条件化简,利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得出结果,由倾斜角为锐角的直线l过点与单位圆相切,可得l的倾斜角为,根据直线参数方程的定义即可得出结果.(2)将直线参数方程和曲线的普通方程联立,利用直线方程中参数的几何意义,可知,借助韦达定理即可得出结果.【详解】（1），即曲线C的直角坐标方程为.又依题意易得直线l的倾斜角为，所以直线l的参数方程为：（2）将代入中，整理得，所以.【点睛】本题考查极坐标和普通方程的互化,考查直线的参数方程中参数的几何意义的应用,难度一般.选修4-5：不等式选讲23.（1）求的最大值m的值；（2）已知，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】(1) 由放缩法可知,由绝对值不等式可得,进而求得的值;(2)由(1)可知, ,由于化简,借助基本不等式即可证得,进而证得结论.【详解】（1）（当且仅当时，取“”），函数的最大值为1，即.（2）由（1）知（，），（当且仅当时，取“”）成立.【点睛】本题考查绝对值不等式在求最值中的应用,考查基本不等式在不等式证明中的应用,难度一般.
