1、5从力做的功到向量的数量积1理解平面向量数量积的含义及其物理意义(重点)2体会平面向量的数量积与向量射影的关系3能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)基础初探教材整理向量的夹角及数量积阅读教材P93P96内容，完成下列问题1向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角范围0180特例0a与b同向180a与b反向90a与b垂直，记作ab，规定0可与任一向量垂直2.向量的数量积(1)射影|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积
2、)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积(5)性质若e是单位向量，则eaae|a|cos .若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab，通常记作abab0.|a|.cos (|a|b|0)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立(6)运算律已知向量a，b，c与实数，则：交换律：abba；结合律：(a)b(ab)a(b)；分配律：a(bc)abac.判断(正确的打“”，错误的打“
3、”)(1)两向量的数量积仍是一个向量()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)设a与b的夹角为，则cos 0ab0.()(4)对于任意向量a，b，总有(ab)2a2b2.()(5).()【解析】(1).两向量的数量积是一个数量(2).ab|a|b|cos 0，a0或b0或cos 0.(3).(4).由数量积定义知，错；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求向量的数量积已知|a|4，|b|5，且a与b的夹角为60.求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(a
4、b)2；(4)a2b2.【精彩点拨】利用两个向量的数量积公式ab|a|b|cos ，|a|2a2及运算律计算【自主解答】由题知60，|a|4，|b|5.(1)ab|a|b|cos 45cos 6010.(2)(ab)2a22abb2422105261.(3)(ab)2a22abb242205221.(4)a2b2|a|2|b|242529.1求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求出|a|和|b|；利用数量积的定义：ab|a|b|cos 求解要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写2若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定
5、向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积再练一题1已知|a|10，|b|4，a与b的夹角120.求：(1)ab；(2)a在b方向上的射影；(3)(a2b)(ab)；(4)(ab)2.【解】(1)ab|a|b|cos 12010420.(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120105.(3)(a2b)(ab)a2ab2ab2b2a2ab2b2|a|2|a|b|cos 1202|b|210010424288.(4)(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 120|b|21002104421004016156.与向量的模有关的问题已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2.求：(
6、1)|ab|；(2)|3a4b|.【精彩点拨】利用公式|a|2a2进行计算【自主解答】ab|a|b|cos 42cos 1204.(1)因为|ab|2a22abb2|a|22ab|b|2422(4)2212，所以|ab|2.(2)因为|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，所以|3a4b|4.1求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2|a|2，最后勿忘开方2一些常见等式应熟记：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2等再练一题2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，求|ab|. 【导学号：66470054】
7、【解】因为(2a3b)(2ab)61，所以4a22ab6ab3b261，所以4|a|24ab3|b|261.又因为|a|4，|b|3，所以4424ab33261，所以ab6.|ab|2(ab)2a22abb2422(6)3213，所以|ab|.探究共研型向量的夹角和垂直问题探究1向量的夹角范围是多少？【提示】0，探究2设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？【提示】ab0ab.探究3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量ab，如何求它们的夹角？【提示】|ab|a|b|，|ab|a|b|cos |.由|cos |1，可得|ab|a|b|.求夹角时先求两个向量a，b
8、夹角的余弦值然后根据向量夹角的取值范围求角已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量a2e1e2与b2e23e1的夹角.【精彩点拨】先求|a|，|b|及ab，再由公式cos 求解【自主解答】e1e2|e1|e2|cos 60cos 60，ab(2e1e2)(2e23e1)6ee1e22e.又a2(2e1e2)24e4e1e2e7，b2(2e23e1)24e12e1e29e7，|a|b|，则cos .0，.1求向量a，b的夹角有两步：第一步，利用公式cos 求cos ；第二步，根据0，确定.而求cos 有两种情形，一种是求出ab，|a|，|b|的值；另一种是得到ab，|a|，|b|之间的关系分别
9、代入公式计算2两向量垂直ab0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决再练一题3已知|a|1，ab，(ab)(ab).(1)求a与b的夹角；(2)求ab与ab的夹角的余弦值【解】(1)因为(ab)(ab)，所以|a|2|b|2.又因为|a|1，所以|b|，设a与b的夹角为，则cos .又因为0，所以.(2)因为(ab)2a22abb212，所以|ab|.又因为(ab)2a22abb212，所以|ab|.设ab与ab的夹角为，则cos .构建体系1对于向量a，b，c和实数，下列命题中正确的是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则a0或0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc【解析】由向
10、量数量积的运算性质，知A，C，D错误【答案】B2设向量ab40，|b|10，则a在b方向上的射影为()A4B4C4 D8【解析】a在b方向上的射影为|a|cosa，b由ab|a|b|cos 40且|b|10，得|a|cos 4.【答案】A3已知|a|，|b|2，ab3，则a与b的夹角是_. 【导学号：66470055】【解析】设a与b的夹角为，cos .又因为0180，所以120.【答案】1204单位向量i，j相互垂直，向量a3i4j，则|a|_.【解析】因为|a|2a2(3i4j)29i224ij16j291625，所以|a|5.【答案】55已知|a|1，|b|，设a与b的夹角为.(1)若，求|ab|；(2)若a与ab垂直，求.【解】(1)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos|b|21223，|ab|.(2)若a与ab垂直，则a(ab)0，a2ab0.ab|a|21.cos .0180，135.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
