1、20102014 年高考真题备选题库第 3 章 三角函数、解三角形 第 7 节 正弦定理和余弦定理 1(2014课标，16,5 分)已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_解析：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12，又 A(0，)，所以 A3，又 b2c2a2bc2bc4，即 bc4，故 SABC12bcsin A124 32 3，当且仅当 bc2 时，等号成立，则ABC 面积的最大值为 3.
2、答案：32(2014福建，12,4 分)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_解析：法一：在ABC 中，根据正弦定理，得 ACsin B BCsin A，所以 4sin B 2 3sin 60，解得 sin B1，因为 B(0，120)，所以 B90，所以 C30，所以ABC 的面积 SABC12ACBCsinC2 3.法二：在ABC 中，根据正弦定理，得 ACsin B BCsin A，所以 4sin B 2 3sin 60，解得 sin B1，因为 B(0，120)，所以 B90，所以 AB422 322，所以ABC 的面积 SABC12ABBC2 3.答案：2
3、33(2014天津，12,5)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc14a,2sinB3sin C，则 cos A 的值为_解析：由已知及正弦定理，得 2b3c，因为 bc14a，不妨设 b3，c2，所以 a4，所以 cos Ab2c2a22bc14.答案：144(2014江苏，14,5 分)若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_解析：由正弦定理可得 a 2b2c，又 cos Ca2b2c22aba2b214a 2b22ab3a22b22 2ab8ab2 6ab2 2ab8ab 6 24，当且仅当 3a 2b 时
4、取等号，所以 cos C 的最小值是 6 24.答案：6 245(2014辽宁，17,12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac.已知 BA BC 2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由 BA BC 2 得 cacos B2，又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B.又 b3，所以 a2c292213.解ac6a2c213，得 a2，c3 或 a3，c2.因 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B1 1322 23，由正弦定理，得 sin C
5、cbsin B232 23 4 29.因 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C14 29279.于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792 23 4 29 2327.6(2014湖南，18,12 分)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD 714，sinCBA 216，求 BC 的长解析：(1)如题图，在ADC 中，由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22ACAD.故由题设知，cosCAD7142 72 77.(2)如题图，设BAC，则 BADCAD.因为 cosCA
6、D2 77，cosBAD 714，所以 sinCAD 1cos2CAD12 772 217，sinBAD 1cos2BAD1 71423 2114.于是 sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD3 2114 2 77 714 217 32.在ABC 中，由正弦定理，BCsin ACsinCBA.故 BC ACsin sinCBA7 322163.7(2014课标，4,5 分)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A5B.5C2D1解析：选 B 由题意可得12ABBCsin B12，又 AB1，BC 2，所以 sin B 22，所以
7、 B45或 B135.当 B45时，由余弦定理可得AC AB2BC22ABBCcos B1，此时 ACAB1，BC 2，易得 A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以 B135.由余弦定理可得ACAB2BC22ABBCcos B 5.8(2014江西，4,5 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()A3B.9 32C.3 32D3 3解析：选 C 由 c2(ab)26 可得 a2b2c22ab6.由余弦定理及 C3可得 a2b2c2ab.所以由得 2ab6ab，即 ab6.所以 SABC12absin3126 32 3
8、 32.9(2014重庆，10,5 分)已知ABC 的内角 A，B，C 满足 sin 2Asin(ABC)sin(CAB)12，面积满足 1S2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8Bab(ab)16 2C6abc12D12abc24解析：选 A 因为 ABC，由 sin 2Asin(ABC)sin(CAB)12得 sin 2Asin 2Bsin 2C12，即 sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)sin 2C12，整理得 2sinCcos(AB)2sin Ccos C2sin Ccos(AB)cos(AB)12，整理得 4sin A
9、sin Bsin C12，即 sin Asin Bsin C18.又 S12absin C12bcsin A12casin B，因此 S318a2b2c2sin Asin Bsin C 164a2b2c2.由 1S2 得 1 164a2b2c223，即 8abc16 2，因此选项 C，D 不一定成立又 bca0，因此 bc(bc)bca8，即 bc(bc)8，选项 A 一定成立又 abc0，因此 ab(ab)abc8，即 ab(ab)8，显然不能得出 ab(ab)16 2，选项 B 不一定成立综上所述，选 A.10(2014山东，12,5 分)在ABC 中，已知 AB AC tan A，当 A
10、6时，ABC 的面积为_解析：根据平面向量数量积的概念得 AB AC|AB|AC|cos A，当 A6时，根据已知可得|AB|AC|23，故ABC 的面积为12|AB|AC|sin 616.答案：1611(2014北京，15,13 分)如图，在ABC 中，B3，AB8，点 D 在BC 边上，且 CD2，cosADC17.(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长解：(1)在ADC 中，因为cosADC17，所以 sinADC4 37.所以 sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB4 37 1217 323 314(2)在ABD 中，由正弦定理得BDABsi
11、nBADsinADB 83 3144 373.在ABC 中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB82522851249.所以 AC7.12(2014陕西，16,12 分)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.(1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值解：(1)a，b，c 成等差数列，ac2b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c 成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos
12、 Ba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，当且仅当 ac 时等号成立cos B 的最小值为12.13(2014安徽，16,12 分)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B.(1)求 a 的值；(2)求 sinA4 的值解：(1)因为 A2B，所以 sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a2ba2c2b22ac.因为 b3，c1，所以 a212，a2 3.(2)由余弦定理得cos Ab2c2a22bc9112613.由于 0A，所以 sin A 1cos2A1192 23.故 sinA4 sin Acos4
13、cos Asin42 23 22 13 22 4 26.14(2014浙江，18,14 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sin Acos A 3sin Bcos B.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A45，求ABC 的面积解析：(1)由题意得1cos 2A21cos 2B2 32 sin 2A 32 sin 2B，即 32 sin 2A12cos 2A 32 sin 2B12cos 2B，sin2A6 sin2B6.由 ab，得 AB，又 AB(0，)，得 2A62B6，即 AB23，所以 C3.(2)由 c
14、 3，sin A45，asin Acsin C，得 a85.由 ac，得 A0)，则 b3t，c7t，可得 cos Ca2b2c22ab5t23t27t225t3t12，故 C23.答案：23 20(2013 福建，4 分)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 23，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_解析：本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力因为 sinBAC2 23，且 ADAC，所以 sin2BAD 2 23，所以 cosBAD2 23，在BAD 中，由余弦定理得，BD AB2AD22ABADcosBAD3
15、 223223 232 23 3.答案：321(2013 浙江，4 分)在ABC 中，C90，M 是 BC 的中点，若 sinBAM13，则 sinBAC_.解析：本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题考查考生灵活利用公式的能力ABM 中，由正弦定理BMsinBAMABsinBMAABcosMAC，所以32ac a24b22b，整理得(3a22c2)20，a2c223，故 sinBACac 63.答案：6322(2013 新课标全国，12 分)如图，在ABC 中，ABC90，AB 3，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90.(1)若 PB12，求 P
16、A；(2)若APB150，求 tanPBA.解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力(1)由已知得，PBC60，所以PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA23142 312cos3074.故 PA 72.(2)设PBA，由已知得 PBsin.在PBA 中，由正弦定理得3sin 150sin sin 30，化简得 3cos 4sin.所以 tan 34，即 tanPBA 34.23(2013 江西，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos C(cos A
17、 3sin A)cos B0.(1)求角 B 的大小；(2)若 ac1，求 b 的取值范围解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力(1)由已知得cos(AB)cos A cos B 3 sin Acos B0，即有 sin Asin B 3 sin Acos B0，因为 sin A0，所以 sin B 3 cos B0，又 cos B0，所以 tan B3，又 0B，所以 B3.(2)由余弦定理，有 b2a2c22accos B.因为 ac1，cos B12，所以 b23a12214.又 0a1，于是有14b21，即有12bbBabCabDa 与 b 的大小关系不
18、能确定解析：法一：由余弦定理得 2a2a2b22abcos120，b2aba20，即(ba)2ba10，ba1 521，故 ba.法二：由余弦定理得 2a2a2b22abcos120，b2aba20，b a2ab，由 aab 得，ba.答案：A 32(2010 江苏，5 分)在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若baab6cosC，则tanCtanAtanCtanB的值是_解析：取 ab1，则 cosC13，由余弦定理得 c2a2b22abcosC43，c2 33，在如图所示的等腰三角形 ABC 中，可得 tanAtanB 2，又 sinC2 23，tanC2 2，tanCtanAtanCtanB4.另解：由baab6cosC 得，a2b2ab6a2b2c22ab，即 a2b232c2，tanCtanAtanCtanBtanC(cosAsinAcosBsinB)sin2CcosCsinAsinB2c2a2b2c24.答案：4
