1、2.5特征值与特征向量变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。引例：根据下列条件试判断M是否与共线：M= ，非零向量= M= ，非零向量=M ，非零向量a，解： M= =3，所以M与共线。 M= =，而与不共线。 即此时M与不共线。M与共线。二、特征向量与特征值设二阶矩阵A ，对于实数l，存在一个非零向量a，使得Aala，那么l称为A的一个特征值，而a称为A的属于特征值l的一个特征向量。几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上。l0方向不变；l0方向
2、相反；l0，特征向量就被变换成零向量。代数方法：特征多项式例2 求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。例3 求矩阵M= 的特征值和特征向量：解：矩阵M的特征值满足方程 =(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0 即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,则可取为属于特征值1=4的一个特征向量。设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0 即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 则可取为属于特征值2
3、=-2的一个特征向量。综上所述：M= 有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。例3 已知：矩阵M= ，向量 = 求M3解：由上题可知1 =,2 =是矩阵M= 分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1与2不共线。又=3+=31+2M3= M3(31+2)=3 M31+ M32 =3131+232=343+(-2)3 =192-8=例4 已知M，b，试计算M50b例5 自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X， Y随时间段变化的数量分别为an，bn，并有关系式，其中a16，b14，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势。
