1、2016-2017学年第二学期第一阶段考试卷高二(理科)数学一、 选择题（共60分，每小题5分）1.若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则（） A.B. C.D.2.用反证法证明：至少有一个为，应假设（） A. 没有一个为B. 只有一个为 C. 至多有一个为D. 两个都为3.用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数的 实部是，所以复数的虚部是”对于这段推理，下列说法正确的是（） A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误D.推理没有问题，结论正确4.已知，则的值为（） A.B.C.D.5.一个包内装有4本不同的科技书，另一个包
2、内装有5本不同的科技书，从两个包内任取 一本的取法有（）种 A.B.C.D.6.已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐 标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（） A.B.C.D.7.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数， ，其中，且，下面正确的运算公式是（） ； ； ； A.B.C.D.8.某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻， 则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序 A.B.C.D.9.已知数列an的通项公式，记， 通过计算的值，猜想的值为（） A. B. C. D. 10.记者要为4名志愿者和他
3、们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不 第11题 同的排法共有（）种 A.B.C.D.11.已知整数按如下规律排成一列：、 ，则第70个 数对是（） A.B. C. D. 12.式子满足，则称 为轮换对称式给出如下三个式子：； ； （是的内角）其中，为轮换对称式的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0二、填空题（共16分，每小题4分）13.满足线性约束条件的可行域中共有 _ 个整数点14.将个和个共个字母填在如图所示的个小方格内，每个小方格内至多填个 字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 _ 种（用数字作答）15.在中，为的中点，则将命题类比到空间： 在三棱锥中
4、，为的重心，则 _ 16. 已知,则= 三、解答题（共74，其中前5题每题12分，最后1题14分）17. （1）计算 （2）计算：18.已知复数在复平面内对应的点分别为， （1）若求的值 （2）复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值 19.数列满足，为数列前项和，并且满足 求 （1）的值； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明20.已知一元二次方程根与系数的关系如下：设是关于方程的根，则 ， （）若是一元三次方程的根，求和 的值； （）若是一元三次方程的根，类比一元二次方程根与系 数的关系，猜想和与系数的关系，并加以证明 21.已知件不同产品中有件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出
5、所有件次品为止 （1）若恰在第次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第次测试后，就找出了所有件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 22.已知函数, （）求函数的极值； （）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点， 且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线特别地，当时，又称为的-伴随切线 求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的； 答案一、 BAAAC DACDC BB二、 15 144 =（+） 2187三、17.解：（1）= （2）C+C+2C=+= 18、解：（1）由复数的几何意义可知：Z1=-2+i，Z2
6、=a+3i |Z1-Z2|=，|-a-2-2i|= 解得a=-3或-1 6（2）复数z=Z1Z2=（-2+i）（a+3i）=（-2a-3）+（a-6）i对应的点在二、四象限的角平分线上， 依题意可知点（-2a-3，a-6）在直线y=-x上 a-6=-（-2a-3），解得a= -91219.解：（1）易求得a1=1，a2=-1，a3=-， S1=1，S2=，S3=（3分）； （2）猜想（5分） 证明：Sn=（an+）Sn-1=（an-1+）可得， 当n=1时，a1=1，猜想成立 假设n=k时，成立，（8分） 则n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1= 即n=k+1时，猜想也成立 由知，nN*时，
7、（12分） 20、解：（）方程x2-3x-4=0的两个根分别为-1和4，（2分） 方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根分别为-1，1和4，（3分） x1+x2+x3=4，x1x2x3=-4（5分） （）x1+x2+x3=-b，x1x2x3=-d（7分） 证明：x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根， x3+bx2+cx+d=（x-x1）（x-x2）（x-x3），（9分） 又（x-x1）（x-x2）（x-x3）展开式中二次项为-（x1+x2+x3）x2，（10分） 常数项为-x1x2x3，（11分） x1+x2+x3=-b，x1x2x3=-d（12分）21、解：（1）由
8、题意知本题是一个分别计数问题， 先排前4次测试，只能取正品，有A64种不同测试方法， 再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试， 有C42A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法 共有不同排法A64A42A44=103680种6 （2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现 共有不同测试方法A41（C61C33）A44=576种1222、解：（）（2分） 当a0（0，+），f（x）0，函数f（x）在内是增函数， 函数f（x）没有极值（3分） 当a0时，令f（x）=0，得 当x变化时，f（x）与f（x）变化情况如下表： 当时，f（x）
9、取得极大值 综上，当a0时，f（x）没有极值； 当a0时，f（x）的极大值为，没有极小值（5分） （）（）设P1（x1，f（x1），P2（x2，f（x2）是曲线y=f（x）上的任意两点， 要证明P1，P2有伴随切线，只需证明存在点Q（x0，f（x0），x1x0x2， 使得，且点Q不在P1P2上（7分） ，即证存在x0（x1，x2），使得， 即x0lnx2-x0lnx1+x1-x2=0成立，且点Q不在P1P2上（8分） 以下证明方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解 设F（x）=xlnx2-xlnx1+x1-x2，0xx2 则F（x1）=x1lnx2-x1lnx1+x1
10、-x2 记g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，0xx2， g（x）=lnx2-lnx0， g（x）在（0，x2）内是增函数， F（x1）=g（x1）g（x2）=0（9分） 同理F（x2）0F（x1）F（x2）0 方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解x=x0（10分） 又对于函数g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2， 0x1x0x2，g（x0）=x0lnx2-x0lnx0+x0-x2g（x2）=0， 可知，即点Q不在P1P2上 又F（x）=（lnx2-lnx1）x+x1-x2在（x1，x2）内是增函数， 方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有唯一解 综上，曲线y=f（x）上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的 14
