1、第二课时直线与椭圆的位置关系(习题课)1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当0时，方程无解，直线与椭圆相离3直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦(2)求弦长的方法交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，
2、(x2，y2)，则弦长公式为：|AB| .1已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是()A点(2,3)在椭圆外B点(3,2)在椭圆上C点(2，3)在椭圆内D点(2，3)在椭圆上答案：D2直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A.B.C. D.答案：C3设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_答案：4直线与椭圆的位置关系典例对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，
3、直线与椭圆相切；当m时，0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离活学活用若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围解：直线ykx1过定点A(0,1)由题意知，点A在椭圆1内或椭圆上，1，m1.又椭圆焦点在x轴上mb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.活学活用已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有，1，解得a28，b24.
4、所以C的方程为1.(2)证明：法一：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则得0，kAB.又kO M，kABkOM.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值与椭圆有关的综合问题典例在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率e，且点P(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线与椭圆C相交于A，B两点
5、，求AOB面积的最大值解(1)由题意得椭圆C的方程为1.(2)设直线AB的方程为yxm，联立得3x24mx2m260，|AB|x1x2| ，原点到直线的距离d.SOAB .当且仅当m时，等号成立，AOB面积的最大值为.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围活学活用已知椭圆C的方程为1(ab0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P到F1，F2的距离和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2
6、)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)由题意得2a4，得a2，又点P在椭圆1上，1，解得b21.椭圆C的方程为y21，焦点F1(，0)，F2(，0)(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：ykx2，代入y21，整理得(14k2)x216kx120，(16k)24(14k2)1216(4k23)0，得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2.AOB为锐角，cos AOB0，则x1x2y1y20，又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，x1x2y1y2(1
7、k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，k24.由得k24.解得2k或kb0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()A. B.C. D.解析：选A最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦将点(c，y)的坐标代入椭圆1，得y，故最短弦长是.3若直线kxy30与椭圆1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C由得(4k21)x224kx200，当16(16k25)0，即k或k时，直线与椭圆有两个公共点故选C.4已知椭圆C：x21，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C4x2y30 D4
8、x2y10解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)点A，B在椭圆上，x1，x1.，得(x1x2)(x1x2)0.P是线段AB的中点，x1x21，y1y21，代入得9，即直线AB的斜率为9.故直线AB的方程为y9，整理得9xy50.5已知椭圆C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若3，则|()A. B2C. D3解析：选A设点A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆C：y21知a22，b21，c21，即c1.右焦点F(1,0)由3得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0.x0，y0n.将x0，y0代入y21，得221.解得n21，|.6已知斜率为2
9、的直线l经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|_.解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.由得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x20，所以|AB| .答案：7已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_解析：，点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，即0，0eb0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入C
10、的方程得1，b4.又e，得，即1，a5，C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1x23，AB的中点坐标 x0，y0(x1x26)，即中点坐标为.10.如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b
11、)，F2(1,0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1，即1，解得a23，b22，所以椭圆方程为1.层级二应试能力达标1若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A2B1C0 D0或1解析：选A由题意，得 2，所以m2n24，则2m2，2nb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即
12、a22b2，又a2b2c2，所以bc3.所以E的方程为1.5过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得0，根据题意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2，所以，即e.答案：6在离心率为的椭圆1(ab0)上任取一点M，过M作MN垂直y轴于点N，若，点P的轨迹图形的面积为，则a的值为_解析：设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(0，y0)，由条件可知点P是线段MN的中点，故即由离心率为，可得4c23
13、a2，即4a24b23a2，故a2b.故椭圆方程为1，把点M(x0，y0)代入可得1，即x2y2b2，表示半径为b的圆，面积为b2.故b1，a2b2.答案：27在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设直线ykx1与C交于A，B两点，k为何值时？此时|AB|的值是多少解：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b1.故曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，并整理，得(k24)x22kx30.由根与系数的关系得x
14、1x2，x1x2.若，则x1x2y1y20.因为y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1，所以x1x2y1y210，所以k.当k时，x1x2，x1x2.所以|AB| .8在直角坐标平面内，已知点A(2,0)，B(2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点作直线l与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围解：(1)设P点的坐标为(x，y)，依题意，有(x2)，化简并整理，得1(x2)动点P的轨迹C的方程是1(x2)(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为xmy，联立消去x，并整理得4(3m24)y212my450，0恒成立设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，则y1y2，y0，x0my0，k.当m0时，k0；当m0时，k.4|m|8，0，0|k|，k且k0.综合可知直线MA的斜率k的取值范围是.
