1、1钦州市大寺中学2 0 2 1 届高三毕业班数学模拟练习理 6 一选择题1.设集合1,0,1,2,3A ，2|20,Bx xx则()RAB （）A1,3B0,1,2C1,2,3D0,1,2,32.已知复数 aiii 在复平面内对应的点在二四象限的角平分线上，则实数 a 的值为（）A2B-2C1D-13.某实验室研发新冠疫苗，试验中需对 x，y 两项指标进行对照试验，已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表：x110115120125130y8589909294已知 y 与 x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ybxa根据该回归方程，预测下一次试验中当150 x 时，
2、106.2y，则b 的值为（）A0.48B0.5C0.52D0.544.记 Sn 为等差数列an的前 n 项和已知 a1a210，S1498，则()Aann11Ban2n22CSnn27nDSn12n214n5.设30.2a，2log 0.3b，3log 2c，则（）A abcB acbCbacDcab6.设函数1()ln1xf xxx，则函数的图像可能为（）ABCD7.621(1)(1)xx展开式中2x 的系数为()A15B20C30D358.已知函数()sin()0,0,|2f xAxA的图象关于直线6x对称，且()f x 的最小正周期为，则函数()f x 图象的一个对称中心是()A,01
3、2B,03C 7,012D,01229.若圆22(2)(1)5xy关于直线10(0,0)axbyab对称，则 21ab的最小值为()A4B 4 2C9D9 210.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A36 B48 C64 D7211.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为3，此时四面体 ABCD 外接球表面积为（）A 7 76B19 196C 7D1912.已知函数,0,0 xexfxx x（其中 e 为自然对数的底数），若函数 2yfxax恰有三个零点，则（）A.204eaB.202eaC.24ea
4、 D.22ea 二填空题13.设,x y 满足约束条件1133xyxyxy，则2zxy的最小值为_.14.在平面直角坐标系中，若角 的始边是 x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos33P，则cos _.15.椭圆2222:10 xyCabab的右焦点2,0F，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32 则椭圆C 的方程是；16.已知数列an满足 a13a2(2n1)an2n，数列bn的前 n 项和Snn22n，则数列anbn 的前 n 项和 Tn_.三解答题17.已知在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c 且 2 cos2aCcb.（1）求角 A 的大小；（2）
5、若1a ，求ABC面积的最大值。318.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，某班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习甲组一共有 4 人，其中男生3 人，女生1人，乙组一共有5 人，其中男生 2 人，女生3 人，现要从这9 人的两个兴趣小组中抽出 4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件 A 发生的概率；（2）用 X 表示抽取的 4 人中乙组女生的人数，求随机变量 X 的分布列和期望19.如图 1，在矩形 ABCD 中，22,BCABE是 AD 中点，将CDE沿直线CE 翻折到CPE的位
6、置，使得3PB，如图 2.（1）求证：面 PCE 面 ABCE；（2）求 PC 与面 ABP 所成角的正弦值.20.已知抛物线28xy，过点0 4M（，）的直线与抛物线交于,A B 两点，又过,A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点（1）证明：直线,PA PB 的斜率之积为定值；（2）求PAB面积的最小值421.已知函数2()()xf xeaxxR.（1）若函数()yf x有两个极值点，试求实数 a 的取值范围；（2）若 02ea且0 x，求证：()1f x .22.(选修 4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的参数方程为2 cos3 sinxy（为参
7、数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos2 24.（1）求经过椭圆C 右焦点 F 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程；（2）若 P 为椭圆C 上任意-点，当点 P 到直线l 距离最小时，求点 P 的直角坐标.23.(选修 4-5：不等式选讲)已知不等式135xxm的解集为 3,2n.（1）求 n 的值；（2）若三个正实数 abc，满足 abcm.证明：2222222bccaababc 5钦州市大寺中学2 0 2 1 届高三毕业班数学模拟练习理 6参考答案 一选择题123456789101112BBDBDBCACBCC1.【解析】由220 xx，得0
8、x 或2x，即|0Bx x或2x，=|02RBxx，又1,0,1,2,3A ()=0,1,2RAB.故选：B.2.【详解】化简复数1(1)aiiaii ，因为复数 aiii在复平面内对应的点在二四象限的角平分线上，所以11a ，解得2a ，故选：B 3.【详解】由已知表格中的数据，求得：1101151201251301205x，8589909294905y，则 20019ba，又因为下一次实验中150 x 时，106.2y，则150106.2ba，联立，解得：0.54b 故选 D 4.解析 设等差数列an的公差为 d，由题意可知，2a120d0,14a191d98，解方程可得，a120，d2，
9、故 an2n22，Snn221n.故选 B 5.【详解】由于300.20.2，22log 0.3log 10，331log 2log32，则323log 0.30.2log 2，即cab.故选 D.6.【解析】1()ln1xf xxx定义域为：(1,1)11()lnln()11xxfxxxf xxx，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f，排除 D 故选 B 7.【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)xxxxx，则6(1)x展开式中含2x 的项为2226115C xx，621(1)xx展开式中含2x 的项为44262115C xxx，故2x 前系数为151530，选
10、 C.8.【解析】由题意可得 2，解得2，函数()sin(2)f xAx依题得()sin()63fAA，因为|2，故6，所以()sin(2)6f xAx令 2,6xkkZ，可得212kx，kZ，6故函数的对称中心(,0)212k，令0k，可得函数()f x 图象的中心是(,0)12，故选：A 9.解：由题意可知，圆心(2,1)在直线10axby+-=，则 21ab，又因为0a，0b，所以 212122()(2)5549baabababab，当且仅当 22baab且 21ab即13a，13b 时取等号，此时取得最小值 9故选：C 10.【详解】由题设中提供的三视图可以看出该几何体是一个长 方体去
11、掉一个上底是直角梯形，下底是直角三角形的棱台的 剩余部分。如图，结合图形中的数据信息可知分成的这两部 分的体积相等，所以其体积1446482V，应选答案 B。11.解析：根据题意可知三棱锥 BACD的三条侧棱 ,BDAD DCDA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC，1,3BDCDBC,120BDC，BDC的外接圆的半径为 1312sin120，由题意可得：球心到底面的距离为32.球的半径为37142r.外接球的表面积为：274474Sr.故选：C.12【详解】由(0)1f，故 0 不是函数 2
12、yfxax的零点，则由2()0f xax，得2()f xax，令2()()f xg xx2,01,0 xexxxx，则题目转化为 ya与()yg x有三个零点，当0 x 时，2()xeg xx，则4(2)()xxexgxx，则 g x 在(0,2)上递减，在(2,)上递增，当2x 时，()g x 有最小值为2(2)4eg，当0 x 时，()g x ，作出()yg x的示意图如图所示：由图知，若函数 2yfxax恰有三个零点，则24ea.故选：C 二填空题：13【详解】由约束条件1,1,33,xyxyxy作出可行域如图，由2zxy得：2yxz 7由图可知，当直线过点 A 时，z 有最小值，联立1
13、33xyxy，解得(2,3)A.2zxy的最小值为 2231.14【详解】解：由题意知，2231sin,cos,3322PP，则 P 到原点的距离为 1，3cos2，3coscos2 .15【详解】依题意有2c，椭圆C 的焦点坐标为2,0，且点3 22,2在椭圆C 上，由椭圆的定义可得22223 23 2222224222a，即22a，226bac，因此，椭圆C 的方程为22186xy=；16解析 因为 a13a2(2n1)an2n，故当 n2 时，a13a2(2n3)an12(n1)，由可得 an22n1(n2 且 nN*)，又当 n1 时，a12 221满足上式，故 an22n1(nN*)
14、，因为 Snn22n，故当 n2 时，bnSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1，又当 n1 时，b1S13211，满足上式，故 bn2n1(nN*)，所以anbn22n12n112n112n1，故 Tn113131512n112n1112n1 2n2n1.三解答题17解:(1)2 cos2aCcb,2sincossin2sinACCB,又 ABC,2sincossin2 sincoscossinACCACAC,sin2cossinCAC,sin2cos10CA,sin0C,1cos2A,又0,A,3A(2)由(1)知,3A,1a ,由余弦定理,有222212cos3abcbc,221b
15、cbc.222bcbc,12bcbc,1bc,当且仅当1bc时等号成立,max113sin1 sin23234ABCSbc,三角形 ABC 的面积的最大值为34.18【解析】（）112324493621267CCCP AC8（）X 可能取值为0,1,2,3,406349155012642CCP XC,3163496010112621CCP XC,226349455212614CCP XC,13634961312621CCP XC,X 的分布列为5105140123422114213EX .19(1)证明：由图 1 可得 BEEC 在图 2 中2,1,3,BEPEPBBEPE 又ECPEEBE
16、面 PEC BE 面 ABCE 面 PCE 面 ABCE（2）以点 A 为原点，分别以,AB AE 直线为 x 轴，y 轴，以经过点 A 且垂直于平面 ABCE 的直线为 z轴建立直角坐标系.由题意可知，1 321,0,0,1,2,0,0,1,0,2 22BCEP1 32,1,0,02 22APAB 设面 ABP 的法向量为,nx y z 则0,0n APn AB 令2,y 得3,z 所以0,2,3n,1 12,2 22PC 222sincos,11PC nPC nPCn，所以直线 PC 与面 ABP 所成角的正弦值为 2 2211 20【解析】（1）证明：由题意设l 的方程为4ykx，联立2
17、48ykxxy，得28320 xkx 因为2(8)4(32)0k ，所以设1122,A x yB xy，则1232x x 设直线 PAPB，的斜率分别为12,kk ，对28xy 求导得4xy ，所以1212,44xxkk，9所以，121212322444416xxx xk k（定值）（2）解：由（1）得直线 PA ：211184xxyxx 直线 PB ：222284xxyxx 联立，得点 P 的坐标为1212,28xxx x，由（1）得12128,32xxk x x ，所以44Pk（，）.于是22|8 12ABkk，点 P 到直线 AB 的距离22421kdk，所以221622PABSkk，当
18、20k，即0k 时，PAB的面积取得最小值322 21【详解】（1）2()xf xeax，()2xfxeax.令()20 xfxeax，函数()yf x有两个极值点，即方程20 xeax有两个不相等根，显然0 x 时，方程不成立，即0 x 不是方程的根，所以原方程有两个不相等根转化为 2xaex有两个不相等的根，不妨令()(0)xeg xxx.2(1)()xexgxx，()g x 在(,0)，(0,1 递减，在1,)递增，(1)ge，且0 x 时，()0g x.方程 2xaex有两个不等根，()(0)xeg xxx图象与2ya图象有两个不同交点，只需满足 2,ae即2ea.（2）不妨令2()(
19、0)xG aeaxae，2()xG ax ae 在0,2ea 递减.2min()22xeeG aGex，不妨令：2()2xeg xex，()xgxeex.令()()xxgxeex，则()xxee，由()0 x得1x，由()0 x得1x ，()()xg x在(,1递减，在1,)递增.min()(1)0gxg，()0gx，()g x 在0,)递增.min()(0)1g xg，所以当02ea且0 x 时，()1f x .1022解：（1）将参数方程23xcosysin（为参数）消去参数 得22143xy，椭圆的标准方程为22143xy，椭圆的右焦点为1,0F，由cos()224 得cossin4，直
20、线l 的直角坐标方程为4xy，过点1,0F与l 垂直的直线方程为1yx，即10 xy，极坐标方程为cossin10 （2）设点2cos,3sin02P的坐标为，则点 P 到直线l 的距离2cos3sin47sin422d，其中2 721sin,cos0772，当2,2kkZ 时，d 取最小值，此时2,2kkZ 4 72cos2cos22sin27k，3 73sin3sin23cos27k ，P 点坐标为 473 7,77 23.解：（1）由题意知，32 为方程135xxm的根，391522m，解得1m.由1351xx解得，3724x，74n.（2）由(1)知1abc，222222222bccaabbcacababcabc.22222222222222222221a bb cc aa bb cb cc ac aa babcabc 222122222abcab cbc aca babcabcabc，2222222bccaababc成立.
