1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4 函数的奇偶性巩固夯实基础 一、自主梳理 1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)+f(-x)=0,则称f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)或f(x)-f(-x)=0,则称f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1）具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=0. (4)奇函数的反函数
2、也为奇函数. (5)定义在(-,+)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 二、点击双基1下面四个结论中，正确命题的个数是( ）偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)A.1 B.2 C.3 D.4解析:不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0x(-a,a).答案:A2已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶
3、函数解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a0)为奇函数.答案:A3（2005重庆高考） 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是( )A.(-,2) B.(2,+) C.(-2)(2,+) D.(-2,2)解析：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示. 显然f(x)0的解集为x|-2x2,故选D.答案：D4（2006北京海淀模拟）已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 006)的值为( )A.2 B.0 C.-2 D.2解析:由
4、题意得g(-x)=f(-x-1)=f-(x+1),g(x+2)=f(x+1), g(x+2)=g(-x)=-g(x). g(x+4)=-g(x+2)=g(x). g(x)为周期函数且T=4. f(2 006)=g(2 007)=g(3+2 004)=g(3)=f(2)=2. 故选A.答案:A5已知f(x)=ax2+bx+3A+b是偶函数，且其定义域为a-1，2a，则a=_，b=_.解析:定义域应关于原点对称， 故有a-1=-2a，得A=. 又对于所给解析式，要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0.答案: 0诱思实例点拨 【例1】 (2005福建高考) f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数
5、,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析:周期为3,且f(2)=0,是R上的奇函数, f(2)=f(-1)=-f(1),f(2)=-f(-2), f(-2)=f(1)=f(4),f(2)=f(5). f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.答案:D【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1）f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1);(3)f(x)=;(4)f(x)=剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.解:(1)函数的定义域x(-,+),对称于原点. f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-
6、1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由0,得-1x0.从而有f(x)=，这时有f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数. (4)函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+),并且当x0时，-x0).当x0, f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x0). 故函数f(x)为奇函数.讲评:(1)分段函数的奇偶性应分段证明. (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005北京东城模拟） 函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1、x2D,有f(x1x2)=f(x1)
7、+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数，求x的取值范围.(1)解:令x1=x2=1,有f(11)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)证明:令x1=x2=-1,有f(-1)(-1)=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x). f(x)为偶函数.(3)解:f(44)=f(4)+f(4)=2,f(164)=f(16)+f(4)=3. f(3x+1)+f(2x-6)3,即f(3x+1)(2x-6)f(64). (*) f(x)在(0,+)上是增函数， (*)等价于不等式组 或 即 3x5或-x-或-x3. x的取值范围为x|-x-或-x3或30的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(,),a2,那么f(x)g(x)0的解集是( )A.(,) B.(-b,-a2)C.(a2,)(-,-a2) D.(,b)(-b2,-a2) 提示:f(x)g(x)0或x(a2,)(-,-a2).答案:C- 4 - 版权所有高考资源网
