1、数 学 理 工 类 试 题第 页 共 页 数学 理工类考 试 时 间 分 钟试 卷 满 分 分 注 意 事 项 答 卷 前 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 回 答 选 择 题 时 选 出 每 小 题 答 案 后 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 如 需 改动 用 橡 皮 擦 干 净 后 再 选 涂 其 它 答 案 标 号 回 答 非 选 择 题 时 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 写 在 本 试卷 上 无 效 考 试 结 束 后 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 一 选 择 题 本
2、题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 已 知 集 合 则 已 知 为 虚 数 单 位 复 数 则 其 共 轭 复 数 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 若 角 的 终 边 经 过 点 则 槡槡已 知 椭 圆 的 左 顶 点 为 上 顶 点 为 且 槡 为 坐 标 原点 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为槡 槡槡槡函 数 的 图 象 大 致 是执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 若 输 入 的 值 分 别 为 输 出 的 值 分 别为 则 如 图 已 知 中 为 的 中 点 若 则 圆 上
3、到 直 线 槡 的 距 离 为 的 点 共 有个个个个部 分 与 整 体 以 某 种 相 似 的 方 式 呈 现 称 为 分 形 一 个 数 学 意 义 上 分 形 的 生 成 是 基 于 一 个 不 断 迭代 的 方 程 式 即 一 种 基 于 递 归 的 反 馈 系 统 分 形 几 何 学 不 仅 让 人 们 感 悟 到 科 学 与 艺 术 的 融 合 数 学 与 艺 术 审 美 的 统 一 而 且 还 有 其 深 刻 的 科 学 方 法 论 意 义 如 图 由 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基年 提 出 的 谢 尔 宾 斯 基 三 角 形 就 属 于 一 种 分 形 具 体 作 法
4、 是 取 一 个 实 心 三 角 形 沿 三 角 形的 三 边 中 点 连 线 将 它 分 成 个 小 三 角 形 去 掉 中 间 的 那 一 个 小 三 角 形 后 对 其 余 个 小 三 角形 重 复 上 述 过 程 逐 次 得 到 各 个 图 形 若 在 图 中 随 机 选 取 一 点 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为关 于 函 数 有 下 述 四 个 结 论 若 则的 图 象 关 于 点 对 称 函 数 在 上 单 调递 增 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 所 得 图 象 关 于 轴 对 称 其 中 所 有 正 确 结论 的 编 号 是四 面 体
5、的 四 个 顶 点 坐 标 为 槡 槡则 该 四面 体 外 接 球 的 体 积 为 槡 槡 已 知 直 线 与 曲 线 相 切 则 的 最 大 值 为数 学 理 工 类 试 题第 页 共 页 数 学 理 工 类 试 题第 页 共 页 二 填 空 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 已 知 圆 柱 的 底 面 半 径 为 高 为 垂 直 于 圆 柱 底 面 的 平 面 截 圆 柱 所 得 截面 为 矩 形 如 图 若 底 面 圆 的 弦 所 对 的 圆 心 角 为 则 圆 柱 被分 成 两 部 分 中 较 大 部 分 的 体 积 为 某 项 羽 毛 球 单 打 比 赛 规 则 是 局
6、 胜 制 运 动 员 甲 和 乙 进 入 了 男 子 羽 毛球 单 打 决 赛 假 设 甲 每 局 获 胜 的 概 率 为 则 由 此 估 计 甲 获 得 冠 军 的 概 率为 已 知 函 数 则 满 足 不 等 式 的 取 值 范 围 是 某 企 业 在 精 准 扶 贫 行 动 中 决 定 帮 助 一 贫 困 山 区 将 水 果 运 出 销 售 现 有 辆 甲 型 车 和 辆乙 型 车 甲 型 车 每 次 最 多 能 运 吨 且 每 天 能 运 次 乙 型 车 每 次 最 多 能 运 吨 且 每 天 能 运 次 甲 型 车 每 天 费 用 元 乙 型 车 每 天 费 用 元 若 需 要 一
7、天 内 把 吨 水 果 运 输 到 火 车站 则 通 过 合 理 调 配 车 辆 运 送 这 批 水 果 的 费 用 最 少 为 元 三 解 答 题 共 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 题 为 必 考 题 每 个试 题 考 生 都 必 须 作 答 第 题 为 选 考 题 考 生 依 据 要 求 作 答 一 必 考 题 共 分 本 小 题 满 分 分 已 知 数 列 的 前 项 和 为 首 项 为 且 成 等 差 数 列 求 数 列 的 通 项 公 式 若 求 数 列 的 前 项 和 本 小 题 满 分 分 在 中 角 所 对 的 边 分 别 是
8、且 求 角 的 大 小 若 槡 求 的 最 大 值 本 小 题 满 分 分 已 知 某 地 区 某 种 昆 虫 产 卵 数 和 温 度 有 关 现 收 集 了 一 只 该 品 种 昆 虫 的 产 卵 数 个 和 温 度的 组 观 测 数 据 其 散 点 图 如 下 所 示 根 据 散 点 图 结 合 函 数 知 识 可 以 发 现 产 卵 数 和 温 度 可 用 方 程 来 拟 合 令 结 合 样 本 数 据 可 知 与 温 度 可 用 线 性 回 归 方 程 来 拟 合 根 据 收 集 到 的 数 据 计 算 得 到 如 下 值 表 中 求 和 温 度 的 回 归 方 程 回 归 系 数 结
9、 果 精 确 到 求 产 卵 数 关 于 温 度 的 回 归 方 程 若 该 地 区 一 段 时 间 内 的 气 温 在 之 间 包括 与 估 计 该 品 种 一 只 昆 虫 的 产 卵 数 的 范 围 参 考 数 据 附 对 于 一 组 数 据 其 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小二 乘 估 计 分 别 为 本 小 题 满 分 分 如 图 在 四 棱 锥 中 底 面 为 正 方 形 底 面 为 线 段 的 中 点 若 为 线 段 上 的 动 点不 含 平 面 与 平 面 是 否 互 相 垂 直 如 果 是 请 证 明 如 果不 是 请 说 明 理 由 求 二 面 角 的 余
10、 弦 值 的 取 值 范 围 本 小 题 满 分 分 已 知 函 数 若 为 单 调 函 数 求 的 取 值 范 围 若 函 数 仅 一 个 零 点 求 的 取 值 范 围 二 选 考 题 共 分 请 考 生 在 第 题 中 任 选 一 题 作 答 如 果 多 做 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 选 修 坐 标 系 与 参 数 方 程 本 小 题 满 分 分 已 知 曲 线 的 参 数 方 程 为为 参 数 以 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 为 极 点 的正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 求 曲 线 的 极 坐 标 方 程 是 曲 线 上 两 点 若 求 的 值
11、 选 修 不 等 式 选 讲 本 小 题 满 分 分 已 知 正 实 数 满 足 求槡槡最 大 值 若 不 等 式 对 任 意 恒 成 立 求 的 取 值 范 围 数 学 理 工 类 试 题第 页 共 页 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 数学理工类参考答案评 分 说 明 本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 可 根 据 试 题 的 主 要考 查 内 容 比 照 评 分 参 考 制 定 相 应 的 评 分 细 则 对 计 算 题 当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时 如 果 后
12、继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容 和难 度 可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的 一 半 如 果后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 就 不 再 给 分 解 答 右 端 所 注 分 数 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 只 给 整 数 分 选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分 一 选 择 题 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 集 合 运 算 不 等 式 解 法 指 数 式 的 值 等 基 础 知 识 考 查
13、运 算 求 解 能 力 解 析 选 择 因 为 所 以 命 题 意 图 本 小 题 考 查 复 数 的 运 算 共 轭 复 数 概 念 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 解 析 选 择 由 所 以 其 共 轭 复 数 命 题 意 图 本 小 题 考 查 三 角 函 数 的 定 义 诱 导 公 式 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 解 析 选 择 角 的 终 边 经 过 点 槡所 以 槡所 以 槡命 题 意 图 本 小 题 考 查 椭 圆 的 定 义 基 本 量 的 关 系 离 心 率 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 数形
14、结 合 思 想 应 用 意 识 解 析 选 择 由 题 意 有 槡 所 以 槡 所 以 离 心 率 槡槡槡 命 题 意 图 本 小 题 考 查 函 数 图 象 和 性 质 等 知 识 考 查 数 形 结 合 等 数 学 思 想 解 析 选 择 由 题 当 时 排 除 当 时 命 题 意 图 本 小 题 考 查 程 序 框 图 及 其 应 用 指 数 式 和 对 数 式 求 值 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能力 应 用 意 识 解 析 选 择 依 程 序 框 图 运 行 当 输 入 时 输 出 当 输 入 时 输 出 则 命 题 意 图 本 小 题 考 查 平 面 向 量 的 基
15、 本 运 算 三 角 形 法 则 等 基 础 知 识 考 查 数 形 结 合 思 想 运 算求 解 能 力 应 用 意 识 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 解 析 选 择 因 为 所 以 故 命 题 意 图 本 小 题 考 查 直 线 和 圆 的 方 程 点 到 直 线 的 距 离 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识 考查 运 算 求 解 能 力 分 类 讨 论 思 想 数 形 结 合 思 想 应 用 意 识 解 析 选 择 圆 的 标 准 方 程 为 圆 心 到 直 线 槡 的距 离 为 槡 槡圆 的 半 径 结 合 图 形 知 圆 上 有 三 点 到
16、直 线 的 距 离 为 命 题 意 图 本 小 题 考 查 概 率 等 基 本 知 识 渗 透 数 学 文 化 考 查 抽 象 概 括 能 力 和 应 用 意 识 解 析 选 择 设 图 三 角 形 的 面 积 为 则 图 中 每 个 小 阴 影 三 角 形 的 面 积 为 图 三 角 形 面积 的 于 是 所 求 的 概 率 为 命 题 意 图 本 小 题 考 查 三 角 函 数 图 象 及 其 性 质 等 基 础 知 识 考 查 逻 辑 推 理 能 力 数 形 结 合 思想 应 用 意 识 解 析 选 择 由 知 是 图 象 的 两个 对 称 中 心 则 是 的 整 数 倍 是 函 数 的
17、 最 小 正 周 期 结 论 错 误 因 为 所 以 结 论 正 确 由 解 得 当 时 在 上 单 调 递 增 则 在 上 单 调 递增 在 上 单 调 递 减 结 论 错 误 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 所 得 图 象对 应 的 函 数 为 是 偶 函 数 所 以 图 象 关 于 轴 对称 结 论 正 确 命 题 意 图 本 小 题 考 查 空 间 直 角 坐 标 系 空 间 几 何 体 的 外 接 球 球 的 体 积 等 基 础 知 识 考 查 空间 想 象 能 力 推 理 论 证 能 力 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 解 析 选 择 由 题 意 知 该
18、 四 面 体 侧 棱 底 面 且 底 面 是 边 长 为槡 的 正 三 角 形 侧棱 所 以 底 面 正 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 球 心 必 在 过 中 点 且 平 行 于 底 面 的 平 面上 所 以 球 半 径 槡槡 所 以 球 的 体 积 为 槡槡 命 题 意 图 本 小 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 函 数 与 导 数 综 合 运 用 等 知 识 考 查 抽 象 概 括 等 数 学 能力 以 及 数 学 抽 象 能 力 考 查 函 数 与 方 程 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 解 析 选 择 设 切 点 则 由 得 又由 得 则 有 数 学 理 工
19、类 试 题 答 案第 页 共 页 令 则 故 当 槡时 当 槡时 故 当 槡时 取 得 极 大 值 也 即 最 大 值 槡二 填 空 题 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 圆 柱 的 体 积 公 式 扇 形 的 面 积 等 基 础 知 识 考 查 空 间 想 象 能 力 运 算 求解 能 力 应 用 意 识 解 析 填 槡 由 题 意 知 圆 柱 截 掉 后 剩 余 部 分 的 底 面 面 积 为 槡 所 以 剩 余 部 分 的体 积 为 槡 命 题 意 图 本 小 题 考 查 概 率 独 立 重 复 试 验 等 基 础 知 识 考 查 抽 象 概 括 能 力 和 应 用 意 识 解 析
20、 填 甲 获 胜 的 方 式 有 和 两 种 则 甲 获 得 冠 军 的 概 率 命 题 意 图 本 小 题 考 查 函 数 奇 偶 性 单 调 性 等 基 础 知 识 考 查 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 以 及 运 算求 解 等 能 力 解 析 填 由 题 知 为 上 的 偶 函 数 当 时 则 可 知 在 上 单 调 递 增 不 等 式 化 为 则 有解 得 命 题 意 图 本 小 题 考 查 线 性 规 划 的 实 际 应 用 考 查 阅 读 理 解 能 力 应 用 意 识 解 析 填设 安 排 甲 型 车 辆 乙 型 车 辆 由 题 意 有即目 标 函 数 作 出 不 等
21、式 组所 表 示 的 平 面 区 域 为四 点 围 成 的 梯 形 及 其 内 部 包 含 的 整 点 有 作 直 线 并 平 移 分 析 可 得 当 直 线 过 点 时 最 小 即元 三 解 答 题 共 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 等 差 数 列 等 比 数 列 的 通 项 公 式 前 项 和 公 式 及 其 应 用 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 解 析 由 题 意 有 当 时 所 以 分 当 时 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 两 式 相 减 得 整 理 得 所 以 数 列 是 以 为 首 项 为 公 比 的 等 比 数
22、列 分 所 以 数 列 的 通 项 公 式 分 由 所 以 所 以 数 列 是 以 为 首 项 为 公 差 的 等 差 数 列 分 所 以 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 正 弦 定 理 两 角 和 的 正 弦 公 式 三 角 函 数 求 最 值 等 基 础 知 识 考 查 运 算求 解 能 力 逻 辑 推 理 能 力 应 用 意 识 解 析 由 根 据 正 弦 定 理 有 分 所 以 所 以 分 因 为 为 三 角 形 内 角 所 以 所 以 因 为 为 三 角 形 内 角 所 以 分 由 槡 根 据 正 弦 定 理 有 所 以 分 所 以 槡 槡 槡 分 当 时 等 号 成 立 所
23、 以 的 最 大 值 为槡 分 另 解 由 槡 根 据 余 弦 定 理 有 槡数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 即 分 因 为 所 以 分 即 槡 当 且 仅 当 槡 时 等 号 成 立 所 以 的 最 大 值 为槡 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 回 归 方 程 统 计 案 例 等 基 本 知 识 考 查 回 归 分 析 的 基 本 思 想 考 查 抽 象概 括 等 能 力 和 应 用 意 识 以 及 数 据 分 析 能 力 解 析 由 题 与 温 度 又 可 以 用 线 性 回 归 方 程 来 拟 合 设 分 所 以 故 关 于 的 线 性 回 归 方 程 为 分
24、由 可 得 于 是 产 卵 数 关 于 温 度 的 回 归 方 程 为 当 时 当 时 因 为 函 数 单 调 递 增 所 以 在 气 温 在 之 间 时 一 只 该 品 种 昆 虫 的 产 卵 数 的 估 计 范 围 是 的 正 整数 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 四 棱 锥 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 二 面 角 的 余 弦 值 等 基 础 知 识 考查 空 间 想 象 能 力 推 理 论 证 能 力 运 算 求 解 能 力 创 新 意 识 解 析 因 为 为 线 段 的 中 点 所 以 分 因 为 底 面 平 面 所 以 又 因 为 底 面 为 正 方 形
25、所 以 所 以 平 面 因 为 平 面 所 以 分 因 为 所 以 平 面 因 为 平 面 所 以 平 面 平 面 分 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 由 题 意 以 所 在 直 线 分 别 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 令 则 其 中 易 知 平 面 的 一 个 法 向 量 分 设 平 面 的 法 向 量 由 即令 则 是 平 面 的 一 个 法 向 量 分 槡槡由 所 以槡 槡所 以槡 槡故 若 为 线 段 上 的 动 点 不 含 二 面 角 的 余 弦 值 的 取 值 范 围 是槡分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 函 数 图 象 和
26、性 质 函 数 零 点 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 等 基 本 知 识 考查 了 学 生 化 归 与 转 化 推 理 论 证 等 数 学 思 想 以 及 数 学 抽 象 数 学 运 算 等 能 力 解 析 由 得因 为 为 单 调 函 数 所 以 当 时 或 恒 成 立 由 于 于 是 只 需 或 对 于 恒 成 立 分 令 则 当 时 所 以 为 增 函 数 则 又 当 时 则 不 可 能 恒 成 立 即 不 可 能 为 单 调 减 函 数 当 即 时 恒 成 立 此 时 函 数 为 单 调 递 增 函 数 分 因 为 所 以 是 的 一 个 零 点 由 知 当 时 为 的
27、增 函 数 此 时 关 于 的 方 程 仅 一 解 即 函 数 仅 一 个 零 点 满 足 条 件 分 当 时 由 得 当 时 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 则 令 易 知 为 的 增 函 数 且 所 以 当 时 即 为 减 函 数 当 时 即 为 增 函 数 所 以 在 上 恒 成 立 且 仅 当 于 是 函 数 仅 一 个 零 点 所 以 满 足 条 件 分 当 时 由 于 在 为 增 函 数 则 当 时 则 存 在 使 得 即 使 得 当 时 当 时 所 以 且 当 时 于 是 当 时 存 在 的 另 一 解 不 符 合 题 意 舍 去 分 当 时 则 在 为 增 函
28、 数 又 所 以 存 在 使 得 也 就 使 得 当 时 当 时 所 以 且 当 时 于 是 在 时 存 在 的 另 一 解 不 符 合 题 意 舍 去 综 上 的 取 值 范 围 为 或 分 选 考 题 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 参 数 方 程 与 极 坐 标 方 程 三 角 恒 等 变 换 等 基 础 知 识 考 查 核 心 素 养 的 数学 运 算 逻 辑 推 理 应 用 意 识 解 析 由为 参 数 得 曲 线 的 普 通 方 程 为 分 将 代 入 得 即 也 可 得 分分 由 知 设 点 的 极 坐 标 为 因 为 则 点 的 极 坐 标 为 分 所 以 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 基 本 不 等 式 不 等 式 的 证 明 方 法 含 绝 对 值 的 不 等 式 等 基 本 知 识 考 查学 生 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 和 推 理 论 证 等 数 学 能 力 以 及 逻 辑 推 理 数 学 运 算 等 能 力 解 析 由 题 槡槡 槡槡当 且 仅 当 时 取 等 号 所 以槡槡最 大 值 为 分 由 题 槡当 且 仅 当 即 取 等 号 所 以 的 最 小 值 为 又 不 等 式 对 任 意 恒 成 立 只 需 即 可 解 得 即 的 取 值 范 围 是 分
