1、5.1 不等式的基本性质自主整理1.两个实数的大小关系:aba-b_0;a=ba-b_0;aba-b_0.2.不等式的基本性质:(1)abb_a;(2)ab,bca_c;(3)aba+c_b+c;(4)ac_bc,ac_bc;(5)ab0an_bn(nN,且n1);(6)ab0_(nN,且n1).高手笔记1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据.与等式相比,主要区别在数乘这一性质上,对于等式a=bac=bc,其中c可取任意实数,而对于不等式ab,两边同乘c之后,ac与bc的大小关系就需对c加以讨论确定.2.学习不等式的性质应注意三个方面的问题:(1)注意区分不等号“”“
2、”“”“”“”的含义，准确地表述不等式.(2)不等式的传递变形中应注意不等号方向的一致性.(3)适当地放大或缩小是不等式变形的关键.3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸,如将“”改为“”,“”改为“”，将正数改为非负数等.如:ab,bcac;ab0,c0acbc等,而且还可推证出其他一些结论性质,如ab,cda+cb+d;ab0,cd0acbd等.4.区分“”和“”,即“推出关系”和“等价关系”,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.如ab,c0acbc,但acbc不一定推出ab,c0,有可能ab,c0.5.文字语言翻译成数学符号要准确,“大于”“”,“小于”“”，“至多”“不多于”“小于等
3、于”“”,“至少”“不少于”“大于等于”“”.名师解惑使用不等式的性质时应注意哪些问题?剖析:(1)不等式的性质都可由两个实数具有的性质推得，在使用时，一定要弄清它们成立的前提条件,例如,在应用传递性时,如果不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如ac,cbab.(2)在乘法法则中,要特别注意c的符号,如果不确定则需讨论,如当c0时,有abac2bc2,但如果缺少条件c0,则abac2bc2就是错误的,只能得到ac2bc2(当且仅当c=0时取“=”).(3)ab0anbn成立的条件“nN且n1”不能省略.假设去掉会出现错误,如n=-1,a=3,b=2,则3-12-1与事
4、实矛盾.总之,要正确使用不等式的性质进行变形,需注意不等式性质成立的条件,条件不同时,得到的结论有可能不同.讲练互动【例1】若a、b、cR,ab,则下列不等式成立的是( )A. B.a2b2 C. D.a|c|b|c|解析:A中-=,由ab可以确定b-a0,但不能确定ab的符号,无法判定.B中需在都是正数的前提下成立. C中c2+110,0.在ab两边同乘一正数,方向不变,C成立.而D中|c|0,当c=0时,a|c|=b|c|,D不成立.答案:C绿色通道 解答有关不等式性质的选择题,一是利用不等式相关的性质推导,要特别注意不等式变号的因素及不等式的使用条件是否具备;二是可用特殊值法或排除法解答
5、.变式训练1.如果a、b、c满足cba,且ac0,则下列不一定成立的是( )A.abac B.c(b-a)0 C.cb2ab2 D.ac(a-c)0解法一:cba且ac0,c0,a0.A中bc,a0abac成立.B中ba,b-a0.又c0,(b-a)c0成立.C中b20,当b=0时,cb2=ab2,C项不一定成立.D中ac,a-c0.ac0,ac(a-c)0成立.解法二:取c=-1、b=0、a=1,分别代入A、B、C、D中验证,可知C不成立.答案:C【例2】已知ab0,cd0,求证:.分析:观察要证的不等式,联系性质(6)可知关键是证明.为此需先证.证明:cd0,cd0,c-d0,0.-=0.
6、0.ab0,0.又ab0,0,0.0.绿色通道 根据不等式的性质证明简单的不等式,可观察要证的不等式的结构,联想与之有联系的不等式的性质或两个实数的大小关系进行变形运算.变式训练2.已知ab0,cd0,e0,求证:.证明:cd0,-c-d0.ab0,a-cb-d0.a-cb-d0,a-c-b+d0.b-a+c-d0.e0,e(b-a+c-d)0.0.成立.【例3】若a、b、c、dR+,且ac+d,bc+d,求证:abad+bc,abac+bd.分析:由于ac+d,bc+d,但a、b的大小关系不定,可分三种情况讨论.证明:a、b、c、dR+,ac+d,bc+d,(1)当abc+d时,aba(c+
7、d)=ac+adac+bd,即abac+adbc+ad成立.(2)当bac+d时,abb(c+d)=bc+bdbc+ad,即abbc+ad成立.由abb(c+d)=bc+bdac+bd,得abac+bd成立.(3)当a=bc+d时,aba(c+d)=ac+ad=ac+bd=bc+ad,即abac+bd=bc+ad成立.综上,abad+bc,abac+bd成立.绿色通道 证明不等式,要多观察结构,灵活地进行变形,情况不确定时,可进行分类讨论.变式训练3.比较x3+11x与6x2+6的大小.解:x3+11x-(6x2+6)=x3-6x2+11x-6=x3-3x2-3x2+11x-6=x2(x-3)
8、+(-3x+2)(x-3)=(x-3)(x2-3x+2)=(x-3)(x-2)(x-1),当x1时,x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.当1x2时,x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.当2x3时,x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.当x3时,x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.当x=1或x=2或x=3时,(x-1)(x-2)(x-3)=0.x3+11x=6x2+6.综上,当x1或 2x3时
9、,x3+11x6x2+6;当1x2或x3时,x3+11x6x2+6;当x=1或x=2或x=3时,x2+11x=6x2+6.【例4】已知6x+y9,-1x-y5,求2x+3y的范围.分析:已知条件为x+y和x-y的范围,需将2x+3y用已知条件表示出来,再用待定系数法确定.解:设2x+3y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,2x+3y=(x+y)-(x-y).6x+y9,15(x+y).-1x-y5,-(x-y).(x+y)-(x-y)23,即2x+3y23.黑色陷阱 本题中所求量的范围需用已知量表示出来,采用整体代换的思想,即弄清所求量与已知量之间的关系.若由得再得2x+3y的范围为(,29),这样就在变化过程中扩大了范围,出现错误.变式训练4.若已知二次函数f(x)的图象过原点,且1f(-1)2,3f(1)4,求f(-2)的范围.解:设f(x)=ax2+bx,则f(1)=a+b,f(-1)=a-b,f(-2)=4a-2b.设m(a+b)+n(a-b)=f(-2)=4a-2b,f(-2)=f(1)+3f(-1).1f(-1)2,3f(1)4,6f(-2)10.
