1、第七节函数的图象考纲传真会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1利用描点法画函数图象的流程2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换yf(x)的图象yf(ax)的图象；yf(x)的图象yaf(x)的图象(3)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象1一个函数图象的对称关系(1)函数f(x)满足关系f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于直线x对称；特别地，当f(
2、ax)f(ax)时，函数f(x)的图象关于直线xa对称(2)函数f(x)满足关系f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于点对称2两个函数图象的对称关系(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(2)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)
3、，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则如图所示的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是()A甲是图，乙是图B甲是图，乙是图C甲是图，乙是图 D甲是图，乙是图B设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑V乙骑V乙跑V甲跑，故选B.3已知a0，a1，函数yax与yloga(x)
4、的图象可能是()ABCDByloga(x)与ylogax的图象关于y轴对称，故选B.4函数ylog (1x)的大致图象是()A BCDD把函数ylogx的图象对称到y轴左侧得到ylog (x)的图象，再把所得图象向右平移1个单位，得到ylog (1x)的图象，故选D.5函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1D依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y；(2)y|log2(x1)|；(
5、3)y；(4)yx22|x|1.解(1)先作出y的图象，保留y图象中x0的部分，再作出y的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图实线部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图.(4)y且函数为偶函数，先作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)转
6、化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.易错警示：(1)画函数的图象一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.识图与辨图【例2】(1)(2018全国卷)函数f(x)的图象大致为()(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设ABx(1x3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN1，当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记
7、G围成的区域的面积为y，则函数yf(x)的图象大致为()ABCD(1)B(2)D(1)因为f(x)f(x)(x0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称，排除选项A；因为f(1)e2，所以排除选项C，D，选B.(2)如图所示，点P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段EF，GH，RQ，SJ部分则G围成的面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即yx(4x)24xx2(x2)24(1x3)，且当x2时，y4(3,4)，故选D.规律方法识别函数图象的方法技巧(1)由解析式确定函数图象从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图
8、象的上下位置.从函数的单调性，判断图象的变化趋势.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.从函数的周期性，判断图象的循环往复.从函数的特殊点，排除不合要求的图象.从函数的极值点判断函数图象的拐点.(2)由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题 (1)(2019武汉模拟)函数f(x)的大致图象是()(2)如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()ABCD(1)C(2)C函数f(x)的
9、定义域为x|x0，排除A.又f(1)0，排除B.当x时，f(x)0，故选C.(2)当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢故选C.函数图象的应用考法1研究函数的性质【例3】已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)C将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f
10、(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减考法2求不等式解集【例4】函数f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，在(0，)上单调递增，f(3)0，若xf(x)f(x)0，则x的取值范围为_(3,0)(0,3)函数f(x)的图象大致如图所示因为f(x)为奇函数，且xf(x)f(x)0，所以2xf(x)0.由图可知，不等式的解集为(3,0)(0,3)规律方法1.利用函数图象研究性质的方法(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性(4)从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等2利用函数
11、的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解3利用函数图象研究方程根的策略构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解 (1)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2(2)设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_(1)C(2)1，)(1)作出函数ylog2(x1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y
12、log2(x1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)log2(x1)的解集为x|1x1，故选C.(2)如图，要使f(x)g(x)恒成立，则a1，a1.函数图象对称性的应用【例5】(1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0C2 D50(2)(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x) Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)(1)C(2)B(1)由f(x)是奇函数知f(1x)f(1x)f(x1)，则f(x2)f(x
13、)从而f(x4)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数因为f(x)是(，)上的奇函数，所以f(0)0.因为f(1x)f(1x)，所以当x1时，f(2)f(0)0；当x2时，f(3)f(1)f(1)2；当x3时，f(4)f(2)f(2)0.综上，可得f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.故选C.(2)设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x1的对称点的坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数f(x)ln x的图象上，所以yln(2x)故选B.规律方法函数图象对称性的常见结论(1)关于点(a
14、，0)对称若两个函数f(x)与g(x)的图象关于(a，0)对称，则有f(x)g(2ax).函数yf(x)的图象关于(a，0)对称，则有f(x)f(2ax).(2)关于直线xa对称函数f(x)的图象关于直线xa对称，则有f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)若两个函数f(x)与g(x)的图象关于直线xa对称，则有g(x)f(2ax)偶函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数f(x)是周期为2a的周期函数奇函数g(x)的图象关于直线xa对称，则函数g(x)是周期为4a的周期函数. (1)直线yk(x3)5(k0)与曲线y的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y
15、2等于()A2B4C6D8(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(3x)f(x)则f(2 019)()A3 B0 C1 D3(1)B(2)B(1)因为y5，其图象关于点(3,5)对称又直线yk(x3)5过点(3,5)，如图所示所以A，B关于点(3,5)对称，所以x1x22(3)6，y1y22510.所以x1x2y1y24.(2)由题意知f(3x)f(x)f(x)，则f(x3)f(x)，从而f(x6)f(x)即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 019)f(3)f(0)0，故选B.1(2017全国卷)函数y的部分图象大致为()C令f(x)，f(1)0，f()0，排除
16、选项A，D.由1cos x0得x2k(kZ)，故函数f(x)的定义域关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B.故选C.2(2017全国卷)函数y1x的部分图象大致为()D当x时，0,1x，y1x，故排除选项B.当0x时，y1x0，故排除选项A，C.故选D.3(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()Df(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，其图象关于y轴对称又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.4(2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则()A0 Bm C2m D4mBf(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称又y|x22x3|(x1)24|的图象关于直线x1对称，两函数图象的交点关于直线x1对称当m为偶数时，2m；当m为奇数时，21m.故选B.
