1、2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1两个事件对立是两个事件互斥的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，
2、则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3下列命题正确的是（）A若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B若p为：xR，x2+2x0则p为：xR，x2+2x0C命题p为真命题，命题q为假命题则命题p（q），（p）q都是真命题D命题“若p，则q”的逆否命题是“若p，则q”4从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A不都相等B都不相等C都相等，且为D都相等，且为5在下列命题中：若向量、共线，则向量、
3、所在的直线平行；若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；若三个向量、两两共面，则向量、共面；已知空间不共面的三个向量、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的命题的个数是（）A0B1C2D36一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（）ABCD7如果B，则使P（=k）取最大值时的k值为（）A5或6B6或7C7或8D以上均错8已知实数x1，9，执行如图所示的流程图，则输出的x不小
4、于55的概率为（）ABCD9若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A10B20C30D6010若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是 尖子生的是（）A甲同学：均值为2，中位数为2B乙同学：均值为2，方差小于1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于111设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次
5、的概率是（）ABCD12已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有_种（用数字作答）14甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B则P（
6、A|B）的值是_15在一个正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=的实数的值有_个16已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为_三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离
7、心率e（1，2）若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围18设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）5且f（0）3”发生的概率（1）若随机数b，c1，2，3，4；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为x|0x1，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果（注：符号“*”表示“乘号”）19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2（1）证明：平面A1AC平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点
8、，并求出二面角PABA1的平面角的余弦值20某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组4.75，4.85），第二组4.85，4.95），第6组5.25，5.35，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.006
9、4）（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若N（，2），则P（+）=0.6826，P（2+2）=0.9544，P（3+3）=0.997421已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x2）（k0）与椭圆C的两个交点，问
10、：在x轴上是否存在点E，使2+为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由22在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足+=（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1两个事件
11、对立是两个事件互斥的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】互斥事件与对立事件【分析】根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，即前者能够推出后者，后者不一定能够推出前者【解答】解：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个时间对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A2设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）
12、（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用【分析】根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定【解答】解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为=0.85x85.71，该大学某女生身高
13、增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时， =0.8517085.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D3下列命题正确的是（）A若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B若p为：xR，x2+2x0则p为：xR，x2+2x0C命题p为真命题，命题q为假命题则命题p（q），（p）q都是真命题D命题“若p，则q”的逆否命题是“若p，则q”【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据命题的概念判断即可；B对存在命题的否定：存在改为任意，再否定结论；C根据命题间的等价关系判断即可；D考查了命题的即否命题【解
14、答】解：A中若p，q为两个命题，“p且q为真”一定能推出“p或q为真”，反之不一定，故应是充分不必要条件，故错误；B中若p为：xR，x2+2x0则p为：xR，x2+2x0是对存在命题的否定：存在改为任意，再否定结论，故正确；C命题p为真命题，命题q为假命题，则p为假命题，q为真命题，则命题p（q）为证明题，（p）q为假命题，故错误；D命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，故错误故选B4从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A不都相等B都不相等C都相等，且为D都相等
15、，且为【考点】简单随机抽样【分析】根据在随机抽样与系统抽样方法中，每件被选中的概率相等可得答案【解答】解：从2003件产品中选取50件，每件被选中的概率相等，每件产品被选中的概率为故选：C5在下列命题中：若向量、共线，则向量、所在的直线平行；若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；若三个向量、两两共面，则向量、共面；已知空间不共面的三个向量、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量；向量的共线定理【分析】若向量、共线，则向量、所在的直线平行，可由向量的平行定义进行判断；若向量、所在的
16、直线为异面直线，则向量、不共面，此命题可由共面向量的定义判断；若三个向量、两两共面，则向量、共面，此命题可由共面向量的定义判断；已知空间不共面的三个向量、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得，可由空间向量基本定理进行判断；【解答】解：若向量、共线，则向量、所在的直线平行，此命题不正确，同一直线上的两个向量也是共线的，此时两直线重合；若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面，此命题不正确，任意两两向量是共面的；若三个向量、两两共面，则向量、共面，此命题不正确，两两共面的三个向量不一定共面，三个不共面的向量也满足任意两个之间是共面的；已知空间不共面的三个向量、，则对于空间的任
17、意一个向量，总存在实数x、y、z，使得，此命题是正确的，它是空间向量共面定理；综上讨论知，只有是正确的故选B6一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】求出所有的a，b，c取法，以及满足条件的a，b，c取法，从而求得“有缘数”的概率【解答】解：所有的a，b，c取法共有=24个，而“有缘数”的三个位上的数字为1，2，3，或1，3，4，共有2=12个，
18、则它是“有缘数”的概率为=，故选：A7如果B，则使P（=k）取最大值时的k值为（）A5或6B6或7C7或8D以上均错【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】随机变量B（20，），当P（=k）的表达式，由式子的意义知：概率最大也就是最可能的取值这和期望的意义接近由E=20=，知k=6，或k=7都可能是极值，由此能求出p（=k）取最大值时k的值【解答】解：随机变量B（20，），当P（=k）=（）20k（1）k=（）202k，由式子的意义知：概率最大也就是最可能的取值，这和期望的意义接近E=20=，k=6，或k=7都可能是极值，P（=6）=P（=7），p（=k）取最大值时k的值是6或7故选：
19、B8已知实数x1，9，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）ABCD【考点】循环结构【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率【解答】解：设实数x1，9，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=22（2x+1）+1+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+755，得x6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为P=故选B9若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，
20、则x5y2的系数为（）A10B20C30D60【考点】二项式定理的应用【分析】根据各项系数和求出a的值，再利用乘方的意义求出x5y2的系数【解答】解：令x=y=1，可得（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为（a+2）5=243，a=1，（x2+x+y）5=（x2+x+y）5而（ax2+x+y）5表示5个因式（ax2+x+y）的积，故有2个因式取y，2个因式取x2，剩下的一个因式取x，可得函x5y2的项，故x5y2的系数为=30，故选：C10若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次
21、考试名次数据，推断一定不是 尖子生的是（）A甲同学：均值为2，中位数为2B乙同学：均值为2，方差小于1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于1【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】根据均值、中位数、众数、方差的定义及意义逐项判断，得出正确选项【解答】解：甲同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生乙同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生 丙同学：中位数为2，众数为2，说明三次考试名次 均为2，断定为尖子生丁同学：众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x=1，2，3时方差
22、均小于1，故x3推断一定不是尖子生故选D11设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）ABCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，停
23、止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率P1=P（A）=（1）（1）=，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率P2=P（B）=（1）（1）（1）=，故停止射击时甲射击了两次的概率P=P1+P2=+=；故选C12已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】设出双曲线的焦点，运用双曲线的定义求得|PF2|=|PF1|2a=2c2a，结合条件可得|QF1|
24、=|QF2|+2a=3ca，在PF1F2和QF1F2中，分别运用余弦定理以及F1F2Q+F1F2P=，得cosF1F2Q+cosF1F2P=0，化简整理，由离心率公式计算即可得【解答】解：设双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），则|PF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|2a=2c2a，由3|PF2|=2|QF2|，可得|QF2|=3c3a，由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3ca，在PF1F2和QF1F2中，cosF1F2P=，cosF1F2Q=，由F1F2Q+F1F2P=，可得cosF1F2Q+cosF1F2P=
25、0，即有+=0，即有5c=7a，即有e=故选：D二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案【解答】解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有A33=90种不同的分配方案，故答案为：9014甲、乙两个小组各10名学生
26、的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B则P（A|B）的值是【考点】条件概率与独立事件【分析】由茎叶图，确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即可求得结论【解答】从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，则事件A包含的基本事件有10，故P（A）=；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则事件B包含的基本事件有9，P（B）=，故事件AB包含的基本事件有5，故P（AB）=，故P（A|B）=故答案
27、为：15在一个正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=的实数的值有2个【考点】点、线、面间的距离计算【分析】根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出的值，即可得出结论【解答】解：线段D1Q与OP互相平分，且=，QMN，只有当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，此时=0或1故答案
28、为：216已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系【分析】本题利用待定系数设出直线的方程，根据直线和曲线的方程联列方程组，用弦长公式表示出AB、CD的长度，可将条件“三条线段成等差”转化为线段AD、BC的关系，得到斜率k的关系式，解方程求出k的值，得本题结论【解答】解：圆P：x2+y2=4y，x2+（y2）2=4圆心P（0，2），半径r=2，BC=4线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个
29、等差数列，AB+CD=BC，AB+BC+CD=3BC，AD=12设直线l的方程为：y=kx+2，由，得到：x28kx16=0，由弦长公式知：AD=8（k2+1）8（k2+1）=12k=三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e（1，2）若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0m、0m15由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可【解答】解：
30、将方程改写为，只有当1m2m0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率e（1，2），所以m0，且1，解得0m15，所以命题q等价于0m15；若p真q假，则m；若p假q真，则综上：m的取值范围为18设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）5且f（0）3”发生的概率（1）若随机数b，c1，2，3，4；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为x|0x1，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果（注：符号“*”表示“乘号”）【考点】简单线性规划；古典概型及其概率计算公
31、式；几何概型；随机思想的发展【分析】（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）5且f（0）3”，即，随机数b，c1，2，3，4，共等可能地产生16个数对，事件A：包含了其中6个数对，从而可求事件A发生的概率；（2）由题意，b，c均是区间0，4中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域中，事件A：所对应的区域为的梯形，从而可求事件A的发生概率【解答】解：（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）5且f（0）3”，即因为随机数b，c1，2，3，4，所以共等可能地产生16个数对（b，c），列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（
32、2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），事件A：包含了其中6个数对（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），所以=，即事件A发生的概率为 （2）由题意，b，c均是区间0，4中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域中（如图），其面积S（）=16事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：S（A）=所以=，即事件A的发生概率为19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=
33、A1B=2（1）证明：平面A1AC平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角PABA1的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）因为顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，得到A1BAC，又ABAC，利用线面垂直的判断定理可得AC面AB1B，从而可证平面A1AC平面AB1B（2）建立空间直角坐标系，求出，利用向量的数量积公式求出棱AA1与BC所成的角的大小；（3）求出平面PAB的法向量为，而平面ABA1的法向量=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角PABA1的平面角的余弦
34、值【解答】证明：（1）A1B面ABC，A1BAC，又ABAC，ABA1B=BAC面AB1B，AC面A1AC，平面A1AC平面AB1B；（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），所以，所以，故AA1与棱BC所成的角是 （3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2） 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则令z=1故 而平面ABA1的法向量=（1，0，0），则=故二面角PABA1的平面角的余弦值是 20某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校该校成立了特色足球队，队员来自
35、高中三个年级，人数为50人视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组4.75，4.85），第二组4.85，4.95），第6组5.25，5.35，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50
36、名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若N（，2），则P（+）=0.6826，P（2+2）=0.9544，P（3+3）=0.9974【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由频率分布直方图求出该校特色足球队人员平均视力，由此能评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况（2）由频率分布直方图求出后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为及人数（3）由题意随机变量可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望【解答】解：（1）由频率分布
37、直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4.8 0.1+4.9 0.2+5.0 0.3+5.1 0.2+5.2 0.1+5.3 0.1=5.03高于全省喜爱足球的高中生的平均值5.014分（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为0.2，人数为0.2 50=10，即这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数为10人6分（3）P（5.0130.085.0130.08，即P（4.775.25）=0.9974，P（5.25）=0.013，0.0013100000=130，8分全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5.25以上这50人中视力在5.25以上的
38、有0.1 50=5人，这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人分为两部分：5人在5.25以上，5人在5.155.259分随机变量可取0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=E=0+1+2=112（分）21已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x2）（k0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆
39、相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x2）和椭圆方程，得（1+3k2）x212k2x+12k26=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使为定值，定点为（，0）【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入得c=2，所以b2=a2c2=2所以椭圆C的标准方程为+=1（2）由，可得（1+3k2）x212k2x+12k26=0，=144k44（1+3k2）（12k26）0，即为6+6
40、k20恒成立设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1m，y1）（x2m，y2）=（x1m）（x2m）+y1y2=（x1m）（x2m）+k2（x12）（x22）=（k2+1）x1x2（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）（2k2+m）+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应3m212m+10=3（m26），即，此时=为定值，定点E为22在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足+=（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过
41、点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点【考点】轨迹方程【分析】（1）设出P点坐标，求出OP、OQ、PQ的斜率，代入+=，整理可得点P的轨迹C的方程；（2）设直线l1的方程为y=k（x1）（k0），与抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得E的坐标，同理求出F的坐标，进一步求出EF所在直线方程，由线系方程证明直线EF恒过一定点【解答】（1）解：设点P的坐标为P（x，y），则，kOQ=2，由+=，得整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y0，y2）；（2）证明：设点A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则点E的坐标为由题意可设直线l1的方程为y=k（x1）（k0），由，消去y得k2x2（2k2+4）x+k2=0，=（2k2+4）24k4=16k2+160直线l1与抛物线交于A，B两点，点E的坐标为由题知，直线l2的斜率为，同理可得F的坐标为（1+2k2，2k）当k1时，有此时直线EF的斜率为：，直线EF的方程为，整理得于是直线EF恒过定点（3，0），当k=1时，直线EF的方程为x=3，也过点（3，0）综上所述，直线EF恒过定点（3，0）2016年9月25日
