1、4数学归纳法课后训练案巩固提升A组1.如果f(n)=1+12+13+13n-1(nN+),那么f(n+1)-f(n)等于()A.13n+2B.13n+13n+1C.13n+1+13n+2D.13n+13n+1+13n+2解析:f(n+1)=1+12+13+13n-1+13n+13(n+1)-2+13(n+1)-1,f(n)=1+12+13+13n-1,f(n+1)-f(n)=13n+13(n+1)-2+13(n+1)-1=13n+13n+1+13n+2.答案:D2.观察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,则可归纳出1+122+132+1(n+1)2
2、小于()A.nn+1B.2n-1n+1C.2n+1n+1D.2nn+1解析:所猜测的分式的分母为n+1,而分子3,5,7,恰好是第(n+1)个正奇数,即2n+1.答案:C3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)k2成立时总可推出f(k+1)(k+1)2成立.”则下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立解析:由数学归纳法原理可得,若f(3)9成立,则当k3时,均有f(
3、k)k2成立,即A不正确.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立,即B不正确.若f(7)49成立,则当k6时,均有f(k)42成立,则当k4时,均有f(k)k2成立.答案:D4.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+1n-1=21n+2+1n+4+12n时,若已假设n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立解析:根据数学归纳法的步骤,若已假设n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证下一个偶数,即n=k+2时等式成立.答案:B5.
4、用数学归纳法证明关于n的不等式1n+1+1n+2+12n1324(nN+),由n=k递推到n=k+1时,不等式的左边的变化为.解析:假设n=k时,不等式成立,即1k+1+1k+2+12k1324,则当n=k+1时,不等式左边=1(k+1)+1+1(k+1)+2+12k+12k+1+12(k+1)=1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2=1k+1+1k+2+12k+12k+1+12k+2-1k+1=1k+1+1k+2+12k+12k+1-12k+2.答案:增加12k+1-12k+26.用数学归纳法证明12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)6(nN+).证明(1)当n=1时,
5、左边=12=1,右边=1(1+1)(21+1)6=1,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即12+22+k2=k(k+1)(2k+1)6,则当n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(2k2+7k+6)6=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)(k+1)+12(k+1)+16,即当n=k+1时等式也成立.由(1)和(2),可知等式对任何nN+都成立.7.已知正数数列an(nN+)的前n项和为Sn,且2Sn=an+1an,请用数学归纳法证明an=n-n-1.证明(1)
6、当n=1时,a1=S1=12a1+1a1,a12=1(an0).a1=1.又1-0=1,当n=1时,结论成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,结论成立,即ak=k-k-1,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=12ak+1+1ak+1-12ak+1ak=12ak+1+1ak+1-12k-k-1+1k-k-1=12ak+1+1ak+1-k.ak+12+2kak+1-1=0,解得ak+1=k+1-k(an0).当n=k+1时,结论成立.由(1)和(2),可知对nN+都有an=n-n-1.8.导学号88184008用数学归纳法证明:当nN+时,1+22+33+nn(n+1)n.证明(1)
7、当n=1时,左边=1,右边=2,12,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时不等式成立,即1+22+33+kk(k+1)k.则当n=k+1时,1+22+33+kk+(k+1)k+1(k+1)k+(k+1)k+1=(k+1)k(k+2)n+22(nN+,且n2)”时,第一步要证明的结论是.解析:因为n2,所以第一步要证的是当n=2时结论成立,即1+12+13+142+22.答案:1+12+13+142+223.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为.答案:14+27+k(3k+1)+(k+1)(3k+4
8、)=(k+1)(k+2)24.导学号88184009等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值.(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN+),证明:对任意的nN+,不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.解(1)由题意知,Sn=bn+r,当n2时,Sn-1=bn-1+r,所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).因为b0,且b1,所以当n2时数列an是以b为公比的等比数列,又a1=b+r,a2=b(b-1),a2a1=b,所以b(b-1)b+r=b,可得r=-1.(
9、2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN+).所证不等式应为2+124+142n+12nn+1.当n=1时,左边=32,右边=2,左边右边,所以结论成立.假设当n=k(k1,kN+)时结论成立,即2+124+142k+12kk+1,则当n=k+1时,2+124+142k+12k2k+32(k+1)k+12k+32(k+1)=2k+32k+1=(k+1)+(k+2)2k+12(k+1)(k+2)2k+1=k+2,所以当n=k+1时结论成立.由和,可知不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1对任意nN+均成立.5.导学号88184010是否存在常数a,b,c使等式122+232+
10、342+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并说明你的结论.解假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,令n=1,2,3得4=16(a+b+c),22=12(4a+2b+c),70=9a+3b+c,整理得a+b+c=24,4a+2b+c=44,9a+3b+c=70,解得a=3,b=11,c=10.令Sn=122+232+342+n(n+1)2.于是对于n=1,2,3,等式Sn=n(n+1)12(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明等式对于一切nN+都成立,过程如下:当n=1时,已得等式成立.假设n=k(k1,kN+)时,等式成立,即Sk=k(k+1)12(3k2+11k+10),则n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=k(k+1)12(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=k(k+1)12(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+2)12k(3k+5)+12(k+2)=(k+1)(k+2)123(k+1)2+11(k+1)+10,当n=k+1时,等式也成立.根据可以断定,对于一切nN+等式都成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立.
