1、2.3.2等比数列的前n项和(一)自主学习 知识梳理1等比数列前n项和公式(1)公式：Sn.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况2等比数列前n项和的一个常用性质在等比数列中，若等比数列an的公比为q，当q1，且m为偶数时，SmS2mS3m0，此时Sm、S2mSm、S3mS2m不成等比数列；当q1或m为奇数时，Sm、S2mSm、S3mS2m成等比数列3推导等比数列前n项和的方法叫_法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和 自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程方法一：设等比数列a1，a2，a3，an，它的前n项和是Sna1a2a3an.由等比数列
2、的通项公式可将Sn写成Sna1a1qa1q2a1qn1.式两边同乘以q得qSn_.，得(1q)Sn_，由此得q1时，Sn_，因为an_，所以上式可化为Sn_.当q1时，Sn_.方法二：由等比数列的定义知q.当q1时，q，即q.故Sn_.当q1时，Sn_.方法三：Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn2)a1qSn1a1q(Snan)当q1时，Sn_.当q1时，Sn_.对点讲练知识点一等比数列前n项和的计算例1在等比数列an中，S3，S6，求an.总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q1是否成立，防止因漏掉q1而出错变式训练1在等比数列an中，a1an66，a3an2128，
3、Sn126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷变式训练2等比数列的前n项和为Sn，若S1010，S2030，S60630，求S70的值知识点三错位相减法的应用例3求和：Snx2x23x3nxn (x0)总结一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用这一思路和方法变式训练3求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，
4、Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一它适合数列anbn的求和，其中an代表等差数列，bn代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法. 课时作业一、选择题1设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64 C127 D1282设等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5 C31 D333已知公比为q (q1
5、)的等比数列an的前n项和为Sn，则数列的前n项和为()A. B.C. D.4在等比数列an中，公比q是整数，a1a418，a2a312，则此数列的前8项和为()A514 B513C512 D5105在等比数列中，S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90 B70 C40 D30二、填空题6设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则_.7若等比数列an中，a11，an512，前n项和为Sn341，则n的值是_8如果数列an的前n项和Sn2an1，则此数列的通项公式an_.三、解答题9设等比数列an的公比q1，前n项和为Sn.已知a32，S45S2，求an的通项公式23.2等
6、比数列的前n项和(一)知识梳理1(1)na13错位相减自主探究a1qa1q2a1q3a1qn1a1qna1a1qna1qn1na1na1na1对点讲练例1解由已知S62S3，则q1，又S3，S6，即得1q39，q2.可求得a1，因此ana1qn12n2.变式训练1解a3an2a1an，a1an128，解方程组得或将代入Sn，可得q，由ana1qn1可解得n6.将代入Sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.例2解方法一因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.方法二因为an为等比数列，且q1，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成
7、等比数列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，所以S3nS2n6063.变式训练2解设b1S10，b2S20S10，则b7S70S60.因为S10，S20S10，S30S20，S70S60成等比数列，所以b1，b2，b7成等比数列，首项为b110，公比为q2.求得b71026640.由S70S60640，得S701 270.例3解(1)当x1时，Sn123n.(2)当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.综上可得Sn.变式训练3解(1)当a0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n
8、1)，则Snn2.(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1aSna3a25a37a4(2n1)an得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，Sn.综上，Sn.课时作业1C2D3D4D5C6.解析由等比数列的定义，S4a1a2a3a4a2a2qa2q2，得1qq2.710解析Sn，341，q2，又ana1qn1，512(2)n1，n10.82n1解析当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)an2an1，an是等比数列，an2n1，nN*.9解方法一由已知a10，Sn，则由得1q45(1q2)(q24)(q21)0.又q1.q1或q2.当q1时，a12，an2(1)n1.当q2时，a1，an(2)n1.方法二S45S2，a1a2a3a45(a1a2)a3a44(a1a2)(1)当a1a20，即a2a1，即q1时，a3a40适合；a32，a12，an2(1)n1.(2)当a1a20时，4.即q24.又q1，q2，a1，此时，an(2)n1.
