1、数学第二课时 等差数列的性质及简单应用数学自主预习课堂探究数学自主预习1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.课标要求数学知识梳理等差数列的常见性质(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=am+(nm);(2)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=am+;(3)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q=2k;(4)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;an-m+1(n-m)dam+an=ap
2、+aq=2ak数学(5)若an、bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论c+an公差为的等差数列(c为任一常数)can公差为的等差数列(c为任一常数)an+an+k公差为的等差数列(k为常数,kN*)pan+qbn公差为的等差数列(p,q为常数)(6)单调性:an的公差为d,则d0an为递增数列;d0an为递减数列;d=0an为常数列.dcd2dpd+qd数学自我检测C1.(由等差数列判定其他的数列)若an是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()|an|an+1-anpan+q(p,q为常数)2an+n(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.(等差数列性质的应用)设数列an,bn都
3、是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5等于()(A)30(B)35(C)40(D)45B数学A3.(等差数列性质的应用)已知等差数列an中,a3=1,a7=-9,则a5等于()(A)-4(B)4 (C)-8(D)8解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.4.(等差数列性质的应用)已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()(A)-1 (B)1 (C)3 (D)7解析:因为a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33,d=-2.所以a20=a4+16d=33-32
4、=1.B数学5.(等差数列单调性的应用)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,则这三个数为.答案:4,6,8数学课堂探究等差数列性质的应用题型一数学数学题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,kN*,则am+an=ap+aq=2ak.数学解析:(1)因为a3+a4+a5=12,所以3a4=12,则a4=4,又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+a7=7a4=28.故选C.(2)由于an、bn都是等差数列,
5、所以an-bn也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以an-bn是常数列,故a10-b10=6.故选B.数学解析:由等差数列的性质得a1+a4=a2+a3,又a1+a2+a3+a4=30,所以2(a2+a3)=30,即a2+a3=15.答案:15数学巧用“对称”解等差数列问题题型二【例2】已知四个数成递减等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.数学数学题后反思利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般有如下规律:当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项:a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,;当项数为偶数时,可设中间
6、两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样可减少计算量.数学数学等差数列的实际应用题型三【例3】有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列an,则an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an440,800-2
7、0n440,得n18.当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,当台数大于或等于18时,单价为440元.到乙商场购买,单价为80075%=600(元).又(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以,当n10时,600n(800-20n)n;当n=10时,600n=(800-20n)n;当10n18时,(800-20n)n600n;当n18时,440n600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.数学题后反思(1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决
8、,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.数学即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).解:设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,a10,利润分别为b1,b2,b10,则an,bn均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以an=60-3
9、(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.数学【备用例题】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息说明,求:(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由.数学数学(2)c6=a6b6=210=20c1=a1b1=30,所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
