1、浙江省舟山市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题1.直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，由直线的方程可得其斜率，则有，结合的范围即可得答案.【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，因直线的方程为，故其斜率，则有，又由，则，故选：B.【点睛】本题考查直线倾斜角的求法，一般地，斜率和倾斜角的关系是：当倾斜角时，斜率，当倾斜角时，斜率不存在.本题属于基础题.2.半径为2的球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由球的表面积公式直接求出表面积即可.【详解】由球的表面积公式可得，故选：C.【点睛】
2、本题考查球的表面积的计算，记住公式是关键，本题属于容易题.3.已知直线l和平面，若，则过点P且平行于l的直线（ ）A. 只有一条，不在平面内B. 只有一条，且在平面内C. 有无数条，一定在平面内D. 有无数条，一定不在平面内【答案】B【解析】【分析】通过假设过点且平行于的直线有两条与，由平行公理可得，这与矛盾.【详解】假设过点P且平行于的直线有两条与，且，由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.故选：B.【点睛】本题考查平行公理的应用，注意在立体几何中解决存在性问题可适当使用反证法，本题属于基础题.4.圆与圆的位置关系为（ ）A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离【答案】C【解析】【分析
3、】求出两圆的圆心距，根据其与半径之和和半径之差的绝对值的关系可得正确的选项.【详解】根据题意，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径；两圆的圆心距，有，则两圆相交；故选：C.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，一般地，我们利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系来判断，本题属于基础题.5.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由面面垂直的判定定理得；在B、C中，与相交或平行；在D中 ，缺了相交的条件，故可得正确的选项.【详解】A中，过作平面，使得，因为，所以，故，而，所以，因，故，故A正确；在B中，
4、若，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，推不出，缺了相交的条件，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假，一般依据已有的判定定理或性质定理进行判断，必要时应动态考虑不同的位置关系，防止遗漏一些特殊情形，本题属于基础题.6.将正方形沿对角线折成一个直二面角，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，三直线两两垂直，分别以这三直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设，求出的坐标后可得向量，的坐标，求出的值可得异面直线和所成角的余弦值.【详解】如图，取的中点为O，连接，
5、则，故为二面角的平面角.因为二面角为直二面角，所以，三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设， 则，异面直线和所成角的余弦值为.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，可通过建立空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为直线的方向向量所成的角，注意异面直线所成的角的范围为，本题属于基础题.7.若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）A. 2个B. 至多一个C. 1个D. 0个【答案】A【解析】【详解】直线没有交点，故 点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆=2内切于椭圆，故点P(m,n)在椭圆内，则过点的直线与椭圆的交点个数为2个8.九章算
6、术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【详解】根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有24=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选D【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题9.在长方体中，分别在对角线，上取
7、点M，N，使得直线平面，则线段MN长的最小值为A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】作于点，作于点，则设，则，由此能求出MN的最小值【详解】作于点，作于点，线段MN平行于对角面，设，则，在直角梯形中，当时，MN的最小值为故选B【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点P是椭圆上一点，直线垂直于且交线段于点M，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，又，由向量共线可得M的坐标，再由
8、向量垂直得到的关系式，结合在椭圆上得到关于的方程组，化简整理可求得，由可得离心率的取值范围.【详解】设，又，解得.，.又，.，整理得到.由P在椭圆上，可得，故，化简得到，解得，或，（舍去），由，可得，即有，又，.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，一般地，圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组本题属于中档题.二、填空题11.已知向量，则_；若，则_【答案】 (1). 3 (2). 0【解析】【分析】用向量的模和向量垂直的性质直接求解.【详解】向量，.若，则，解得
9、.故答案为：3，0.【点睛】本题考查空间向量的模以及空间向量数量积的坐标形式，注意两个向量垂直等价于它们的数量积为零，本题属于容易题.12.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为_；表面积为_（单位：）. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图可知几何体为正三棱柱，根据三视图中的数据可得其底边的长和棱柱的高，根据公式可求其体积和表面积.【详解】该几何体为正三棱柱，且底面为边长为2的正三角形，高为3.故，.故答案为：，【点睛】本题考查三视图及其棱柱的体积和表面积，可根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系本题属于基础题
10、.13.双曲线C：的渐近线方程为_，C上一点P到点的距离为7，则点P到点的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求得双曲线的后可得渐近线方程，讨论在右支上不可能，结合双曲线的定义可得所求值.【详解】由C：得，可得渐近线方程为.若在双曲线的右支上，可得，但到点的距离为7，故在左支上，又，即有，故答案为：，.【点睛】本题考查双曲线的渐近线以及双曲线的几何性质，在利用双曲线的几何性质求焦半径的长度时，注意根据已知焦半径的大小确定双曲线上的点是否在某个单支上，本题属于易错题.14.正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，则与侧面所成角的正弦值为_；点E为中点，则过，三点的截面面积为_.【答
11、案】 (1). (2). 【解析】【分析】以A为原点，在平面内过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量与侧面的法向量后可求线面角的正弦值.取中点D，连结，则过，三点的截面为梯形，由此能求出过，三点的截面面积.【详解】以A为原点，在平面内过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，设与侧面所成角为，则与侧面所成角正弦值为：.取中点D，连结，点E为中点，则过，三点的截面为梯形，过，三点的截面面积为：.故答案为：，.【点睛】本题考查空间向量在线面角计算中的应用以及几何体的截面面积的计算，前者注意直线方向向量和平面的法向量的夹角
12、与线面角的关系，本题属于中档题.15.已知圆C：，过点的直线l交圆于A、B两点，当时，l所在的直线方程是_【答案】或.【解析】【分析】分别就直线斜率存在与不存在两种情况考虑，当斜率存在时，可利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求斜率，从而得到直线方程.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程，此时交点，满足题意，当直线的斜率存在时，可设直线为，即，因为，故圆心到直线的距离为.又圆心到直线的距离，故，此时直线方程为.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，对于已知弦长求直线方程的问题，注意讨论直线斜率不存在的情况，本题属于基础题.16.过抛物线C：的焦点F的直线与抛
13、物线C交于A、B两点，则的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】先证明，再结合基本不等式即可得解.【详解】当的斜率不存在的时候，为通径且，故.当的斜率存在的时候，设，由 可得，所以.又.又当且仅当时取等号.故答案为：9.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系中的定值问题以及利用基本不等式求最值，前者需要联立直线方程和抛物线方程，利用焦半径公式把目标关系式转化为关于的关系式，利用韦达定理化简后可得定值，后者需要代数变形以产生能使用基本不等式的结构形式，本题属于较难题.17.若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为
14、时，k的值为_.【答案】【解析】分析】设二面角平面角为，点到底面的距离为，点到定直线的距离为，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，故，根据抛物线的定义，由给定的二面角的大小可求值.【详解】如图，设二面角平面角为，点到底面的距离为，点到定直线得距离为，则，即.点到底面的距离与到点的距离之比为正常数，则，所以.动点的轨迹是抛物线，故.因为，故.故答案为：.【点睛】本题考查空间中动点的轨迹以及二面角的应用，前者需利用平面解析几何中圆锥曲线的定义来求动点满足的几何性质，本题属于中档题.三、解答题：5小题，共74分18.已知平面内三点、，（1）求过点P且与平行的直线方程；（2）求
15、过点P、A、B三点的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程可得所求的直线方程.（2）根据题意，设圆心为M，则M在的垂直平分线上，由B、P的坐标可得M在x轴上，设，进而可得，解得a的值后可得圆心坐标和半径，即可得答案.详解】（1）根据题意，平面中点、，则，则过点P且与平行的直线方程为，即；（2）根据题意，设圆心为M，又由、，则M在的垂直平分线上，即M在x轴上.设，则有，解得：；则圆心M的坐标为，半径，则要求圆的方程为.【点睛】本题考查直线方程与圆的方程的求法，如果已知圆过三点，我们可以利用边的中垂线求出圆心后再求半径，也可以设出圆的一般方
16、程，利用待定系数法求出参数的值，本题属于基础题.19.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形且，E、F分别是、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点H，可证明，从而可证直线平面.（2）先证明平面，再利用（1）的可得直线平面.【详解】证明：（1）取中点H，连接，易知为的一条中位线，故，且，又E为中点，为矩形，且，且，四边形为平行四边形，不在平面内，在平面内，平面.（2），H为中点，又平面，在平面内，又，且，均在平面内，平面，又在平面内，又，且都在平面内，平面，又，平面.【点睛】本题考查线面平行与线面垂直的证明，线面
17、平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线20.已知椭圆C：的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l交椭圆C于不同的两点A、B，且中点E在直线上，线段的垂直平分线交y轴于点，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率及椭圆所过的点的坐标及之间的关系求出椭圆的方程；（2）由题意设直线的方程与椭圆联立求出两根之和，
18、进而求出中点的横坐标，代入直线求出中点的纵坐标，进而求出的中垂线的方程.令求出P的纵坐标，即m的表达式，分斜率大于0和小于0两种情况用均值不等式求出的取值范围.【详解】解：（1）由题意知：，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）当直线的斜率不存在的时候，此时的垂直平分线为，此时.当直线的斜率存在的时候，设，若，则为轴，中垂线与轴没有交点，舍； 若，则直线：，由得则，整理得到，设，所以中点E的横坐标为，整理得到，又的垂直平分线方程为：，令，则，因为，故，此时且 故且，综上，的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的最值问题，求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定
19、系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，本题属于基础题.21.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为边长为2的等边三角形，O为的中点，平面.（1）求证：；（2）当四边形为菱形时，求与平面所成角大小的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）可证，从而平面，由此能证明.（2）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利
20、用向量法能求出与平面所成角正弦值.【详解】（1）证明：平面，平面，为边长为2的等边三角形，O为的中点，平面，平面，而平面， .（2）解：以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角大小为，则与平面所成角大小的正弦值为：.【点睛】本题考查线线垂直的证明与线面角的求法，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，本题属于中档题.22.如图，已知抛物线C：，过抛物线焦点F的直线交抛物线
21、C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点C，D，且，设，的中点分别为M，N.（1）求证：轴；（2）若，求面积的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理及中点坐标公式即可求得，即可求得轴；（2）根据向量的坐标运算及点在抛物线上，即可求得，根据三角形的面积公式即可求得面积的最小值.【详解】（1）抛物线C：的焦点，设，直线的方程为，由，消去x，整理得，则，因为，所以，即，由，所以轴.（2）由（1）可知，则，设，由，得，代入抛物线，得到，同理，所以，为方程，即，所以，即M，N，P三点共线，又，所以，又，所以，当，面积的最小值.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系中的定值与最值问题，此类问题一般有两个处理方法：（1）联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而可解决定值、最值问题；（2）设出抛物线上动点的坐标（注意用纵坐标表示横坐标或用横坐标表示纵坐标），把题设条件转化为关于坐标的关系，从而可解决定值、最值问题，本题属于中档题.